Regularity of solutions of the p-Laplace equation in the Heisenberg group

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Inversione della trasformata di Laplace mediante regolarizzazione con norma L1

I dati derivanti da spettroscopia NMR sono l'effetto di fenomeni descritti attraverso la trasformata di Laplace della sorgente che li ha prodotti. Ci si riferisce a un problema inverso con dati discreti ed in relazione ad essi nasce l'esigenza di realizzare metodi numerici per l'inversione della trasformata di Laplace con dati discreti che è notoriamente un problema mal posto e pertanto occorre ricorrere a metodi di regolarizzazione. In questo contesto si propone una variante ai modelli presenti il letteratura che fanno utilizzo della norma L2, introducendo la norma L1.

Laplace operator on finite graphs and a network diffusion model for the progression of the Alzheimer disease

Nella tesi viene descritto il Network Diffusion Model, ovvero il modello di A. Ray, A. Kuceyeski, M. Weiner inerente i meccanismi di progressione della demenza senile. In tale modello si approssima l'encefalo sano con una rete cerebrale (ovvero un grafo pesato), si identifica un generale fattore di malattia e se ne analizza la propagazione che avviene secondo meccanismi analoghi a quelli di un'infezione da prioni. La progressione del fattore di malattia e le conseguenze macroscopiche di tale processo(tra cui principalmente l'atrofia corticale) vengono, poi, descritte mediante approccio matematico. I risultati teoretici vengono confrontati con quanto osservato sperimentalmente in pazienti affetti da demenza senile. Nella tesi, inoltre, si fornisce una panoramica sui recenti studi inerenti i processi neurodegenerativi e si costruisce il contesto matematico di riferimento del modello preso in esame. Si presenta una panoramica sui grafi finiti, si introduce l'operatore di Laplace sui grafi e si forniscono stime dall'alto e dal basso per gli autovalori. Al fine di costruire una cornice matematica completa si analizza la relazione tra caso discreto e continuo: viene descritto l'operatore di Laplace-Beltrami sulle varietà riemanniane compatte e vengono fornite stime dall'alto per gli autovalori dell'operatore di Laplace-Beltrami associato a tali varietà a partire dalle stime dall'alto per gli autovalori del laplaciano sui grafi finiti.

The Wiener criterion for the Laplacian and the heat operator

La tesi presenta il criterio di regolarità di Wiener dell’ambito classico dell’operatore di Laplace ed in seguito alcune nozioni di teoria del potenziale e la dimostrazione del criterio nel caso dell’operatore del calore; in questa seconda sezione viene dedicata particolare attenzione alle formule di media e ad una diseguaglianza forte di Harnack, che risultano fondamentali nella trattazione dell’argomento centrale.

Famiglie Normali per Operatori Sub-ellittici e i Teoremi di Montel e Koebe

Scopo della tesi è di estendere un celebre teorema di Montel, sulle famiglie normali di funzioni olomorfe, all'ambiente sub-ellittico delle famiglie di soluzioni u dell'equazione Lu=0, dove L appartiene ad un'ampia classe di operatori differenziali alle derivate parziali reali del secondo ordine in forma di divergenza, comprendente i sub-Laplaciani sui gruppi di Carnot, i Laplaciani sub-ellittici su arbitrari gruppi di Lie, oltre all'operatore di Laplace-Beltrami su varietà di Riemann. A questo scopo, forniremo una versione sub-ellittica di un altro notevole risultato, dovuto a Koebe, che caratterizza le funzioni armoniche come punti fissi di opportuni operatori integrali di media con nuclei non banali. Sarà fornito anche un adeguato sostituto della formula integrale di Cauchy.

Un'interpretazione del modello classico di Retinex sulla base della funzionalita del LGN

In questa tesi consideriamo il problema della percezione di immagini, e in particolare la sensibilità al contrasto del nostro sistema visivo. Viene studiato il modello classico di Retinex, che descrive l'immagine percepita come soluzione di un'equazione di Poisson. Questo modello viene reinterpretato utilizzando strumenti di geometria differenziale e derivate covarianti. La controparte neurofisiologica del modello è la descrizione della funzionalità del LGN, e della connettività che le lega. Questa viene modellata come un nucleo soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace, con strumenti di teoria delle distribuzioni. L'attività dello strato di cellule è quindi soluzione dell'equazione di Laplace, ovvero la stessa equazione che descrive il Retinex. Questo prova che le cellule sono responsabili della percezione a meno di illuminazione.

Formule di media per le funzioni armoniche

In questo lavoro studiamo le funzioni armoniche e le loro proprietà: le formule di media, il principio del massimo e del minimo (forte e debole), la disuguaglianza di Harnack e il teorema di Louiville. Successivamente scriviamo la prima e la seconda identità di Green, che permettono di ottenere esplicitamente la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace, tramite il calcolo delle soluzioni radiali del Laplaciano. Introduciamo poi la funzione di Green, da cui si ottiene una formula di rappresentazione per le funzioni armoniche. Se il dominio di riferimento è una palla, la funzione di Green può essere determinata esplicitamente, e ciò conduce alla rappresentazione integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla.

Variazioni di gravità generate da processi deformativi in un semispazio elastico

La precisione delle misure dell’accelerazione di gravità effettuate grazie ai gravimetri più moderni fornisce importanti informazioni relative ai processi deformativi, che avvengono nel nostro pianeta. In questa tesi il primo capitolo illustra alcuni fondamenti della teoria dell’elasticità ed in particolare la possibilità di descrivere qualunque sorgente deformativa interna alla Terra tramite una distribuzione di “forze equivalenti” con risultante e momento nulli. Inoltre descriviamo i diversi contributi alle variazioni di gravità prodotte da tali eventi. Il secondo capitolo fornisce alcune tecniche di soluzione dell’equazione di Laplace, utilizzate in alcuni calcoli successivi. Nel terzo capitolo si sviluppano le soluzioni trovate da Mindlin nel 1936, che analizzò spostamenti e deformazioni generate da una forza singola in un semispazio elastico omogeneo con superficie libera. Si sono effettuati i calcoli necessari per passare da una forza singola a un dipolo di forze e una volta trovate queste soluzioni si sono effettuate combinazioni di dipoli al fine di ottenere sorgenti deformative fisicamente plausibili, come una sorgente isotropa o una dislocazione tensile (orizzontale o verticale), che permettano di descrivere fenomeni reali. Nel quarto capitolo si descrivono i diversi tipi di gravimetri, assoluti e relativi, e se ne spiega il funzionamento. Questi strumenti di misura sono infatti utilizzati in due esempi che vengono descritti in seguito. Infine, nel quinto capitolo si sono applicati i risultati ottenuti nel terzo capitolo al fine di descrivere i fenomeni avvenuti ai Campi Flegrei negli anni ‘80, cercando il tipo di processo deformativo più adatto alla descrizione sia della fase di sollevamento del suolo che quella di abbassamento. Confrontando le deformazioni e le variazioni residue di gravità misurate prima e dopo gli eventi deformativi con le previsioni dei modelli si possono estrarre importanti informazioni sui processi in atto.

Metodi numerici di regolarizzazione per l'inversione 2d di dati di risonanza magnetica nucleare

Molte applicazioni sono legate a tecniche di rilassometria e risonanza magnetica nucleare (NMR). Tali applicazioni danno luogo a problemi di inversione della trasformata di Laplace discreta che è un problema notoriamente mal posto. UPEN (Uniform Penalty) è un metodo numerico di regolarizzazione utile a risolvere problemi di questo tipo. UPEN riformula l’inversione della trasformata di Laplace come un problema di minimo vincolato in cui la funzione obiettivo contiene il fit di dati e una componente di penalizzazione locale, che varia a seconda della soluzione stessa. Nella moderna spettroscopia NMR si studiano le correlazioni multidimensionali dei parametri di rilassamento longitudinale e trasversale. Per studiare i problemi derivanti dall’analisi di campioni multicomponenti è sorta la necessità di estendere gli algoritmi che implementano la trasformata inversa di Laplace in una dimensione al caso bidimensionale. In questa tesi si propone una possibile estensione dell'algoritmo UPEN dal caso monodimensionale al caso bidimensionale e si fornisce un'analisi numerica di tale estensione su dati simulati e su dati reali.