A study on set variable representations in constraint programming

Il lavoro presentato in questa tesi si colloca nel contesto della programmazione con vincoli, un paradigma per modellare e risolvere problemi di ricerca combinatoria che richiedono di trovare soluzioni in presenza di vincoli. Una vasta parte di questi problemi trova naturale formulazione attraverso il linguaggio delle variabili insiemistiche. Dal momento che il dominio di tali variabili può essere esponenziale nel numero di elementi, una rappresentazione esplicita è spesso non praticabile. Recenti studi si sono quindi focalizzati nel trovare modi efficienti per rappresentare tali variabili. Pertanto si è soliti rappresentare questi domini mediante l'uso di approssimazioni definite tramite intervalli (d'ora in poi rappresentazioni), specificati da un limite inferiore e un limite superiore secondo un'appropriata relazione d'ordine. La recente evoluzione della ricerca sulla programmazione con vincoli sugli insiemi ha chiaramente indicato che la combinazione di diverse rappresentazioni permette di raggiungere prestazioni di ordini di grandezza superiori rispetto alle tradizionali tecniche di codifica. Numerose proposte sono state fatte volgendosi in questa direzione. Questi lavori si differenziano su come è mantenuta la coerenza tra le diverse rappresentazioni e su come i vincoli vengono propagati al fine di ridurre lo spazio di ricerca. Sfortunatamente non esiste alcun strumento formale per paragonare queste combinazioni. Il principale obiettivo di questo lavoro è quello di fornire tale strumento, nel quale definiamo precisamente la nozione di combinazione di rappresentazioni facendo emergere gli aspetti comuni che hanno caratterizzato i lavori precedenti. In particolare identifichiamo due tipi possibili di combinazioni, una forte ed una debole, definendo le nozioni di coerenza agli estremi sui vincoli e sincronizzazione tra rappresentazioni. Il nostro studio propone alcune interessanti intuizioni sulle combinazioni esistenti, evidenziandone i limiti e svelando alcune sorprese. Inoltre forniamo un'analisi di complessità della sincronizzazione tra minlex, una rappresentazione in grado di propagare in maniera ottimale vincoli lessicografici, e le principali rappresentazioni esistenti.

Representations of semisimple Lie algebras

La tesi è dedicata allo studio delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Mediante il teorema di Weyl sulla completa riducibilità, ogni rappresentazione di dimensione finita di una algebra di Lie semisemplice è scrivibile come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili. Questo permette di poter concentrare l'attenzione sullo studio delle rappresentazioni irriducibili. Inoltre, mediante il ricorso all'algebra inviluppante universale si ottiene che ogni rappresentazione irriducibile è una rappresentazione di peso più alto. Perciò è naturale chiedersi quando una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita ottenendo che condizione necessaria e sufficiente perché una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita è che il peso più alto sia dominante. Immediata è quindi l'applicazione della teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici nello studio delle superalgebre di Lie, in quanto costituite da un'algebra di Lie e da una sua rappresentazione, dove viene utilizzata la tecnica della Z-graduazione che viene utilizzata per la prima volta da Victor Kac nello studio delle algebre di Lie di dimensione infinita nell'articolo ''Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth'' del 1968.