Chargaff symmetric stochastic processes

Scopo della modellizzazione delle stringhe di DNA è la formulazione di modelli matematici che generano sequenze di basi azotate compatibili con il genoma esistente. In questa tesi si prendono in esame quei modelli matematici che conservano un'importante proprietà, scoperta nel 1952 dal biochimico Erwin Chargaff, chiamata oggi "seconda regola di Chargaff". I modelli matematici che tengono conto delle simmetrie di Chargaff si dividono principalmente in due filoni: uno la ritiene un risultato dell'evoluzione sul genoma, mentre l'altro la ipotizza peculiare di un genoma primitivo e non intaccata dalle modifiche apportate dall'evoluzione. Questa tesi si propone di analizzare un modello del secondo tipo. In particolare ci siamo ispirati al modello definito da da Sobottka e Hart. Dopo un'analisi critica e lo studio del lavoro degli autori, abbiamo esteso il modello ad un più ampio insieme di casi. Abbiamo utilizzato processi stocastici come Bernoulli-scheme e catene di Markov per costruire una possibile generalizzazione della struttura proposta nell'articolo, analizzando le condizioni che implicano la validità della regola di Chargaff. I modelli esaminati sono costituiti da semplici processi stazionari o concatenazioni di processi stazionari. Nel primo capitolo vengono introdotte alcune nozioni di biologia. Nel secondo si fa una descrizione critica e prospettica del modello proposto da Sobottka e Hart, introducendo le definizioni formali per il caso generale presentato nel terzo capitolo, dove si sviluppa l'apparato teorico del modello generale.

The Feynman-Kac formula and applications to PDEs

The thesis presents a probabilistic approach to the theory of semigroups of operators, with particular attention to the Markov and Feller semigroups. The first goal of this work is the proof of the fundamental Feynman-Kac formula, which gives the solution of certain parabolic Cauchy problems, in terms of the expected value of the initial condition computed at the associated stochastic diffusion processes. The second target is the characterization of the principal eigenvalue of the generator of a semigroup with Markov transition probability function and of second order elliptic operators with real coefficients not necessarily self-adjoint. The thesis is divided into three chapters. In the first chapter we study the Brownian motion and some of its main properties, the stochastic processes, the stochastic integral and the Itô formula in order to finally arrive, in the last section, at the proof of the Feynman-Kac formula. The second chapter is devoted to the probabilistic approach to the semigroups theory and it is here that we introduce Markov and Feller semigroups. Special emphasis is given to the Feller semigroup associated with the Brownian motion. The third and last chapter is divided into two sections. In the first one we present the abstract characterization of the principal eigenvalue of the infinitesimal generator of a semigroup of operators acting on continuous functions over a compact metric space. In the second section this approach is used to study the principal eigenvalue of elliptic partial differential operators with real coefficients. At the end, in the appendix, we gather some of the technical results used in the thesis in more details. Appendix A is devoted to the Sion minimax theorem, while in appendix B we prove the Chernoff product formula for not necessarily self-adjoint operators.