Spectral Splitting of Purely Magnetic Schrödinger Operator in 2-d

La tesi ripercorre i procedimenti utilizzati per il calcolo dell'asintotica dello splitting dell'operatore puramente magnetico di Schrödinger nel limite semiclassico (con campo magnetico costante) in un dominio aperto limitato e semplicemente connesso il cui bordo ha simmetria assiale ed esattamente due punti di curvatura massima non degeneri. Il punto di partenza è trovare stime a priori sulle sue autofunzioni, che permettono di dire che sono localizzate esponenzialmente vicino al bordo del dominio in oggetto, grazie a queste stime di riesce a modificare l'operatore in maniera tale che l'asintotica dello splitting rimanga equivalente. Si passa in seguito a coordinate tubulari, quindi si rettifica il borso del dominio, andando però a complicare il potenziale magnetico. Si ottengono nuove stime a priori per le autofunzioni. A questo punto si considera lo stesso operatore differenziale ma su un dominio modificato, in cui viene eliminato uno dei punti di curvatura massima. Per tale operatore si ha uno sviluppo asintotico delle autofunzioni (anche dette soluzioni WKB). Si utilizzano poi strumenti di calcolo pseudo-differenziale per studiare l'operatore nel nuovo dominio, ne si localizza la fase per renderlo limitato ed ottenere così una parametrice (anch'essa limitata) avente un simbolo esplicito. Se ne deducono stime di tipo ellittico che possono essere portate all'operatore senza la fase localizzata aggiungendo dei termini di errore. Grazie queste stime si riesce ad approssimare lo splitting (controllando sempre l'errore) che volevamo calcolare (quello dell'operatore sul dominio con due punti di curvatura massima) tramite le autofunzioni dell'operatore sul dominio con un solo punto di curvatura massima, e per queste autofunzioni abbiamo lo sviluppo asintotico (WKB). Considerando l'ordine principale di questi sviluppi si riesce a calcolare esplicitamente il termine dominante dello splitting, ottenendone così l'asintotica nel limite semiclassico.

Studio mediante spettroscopia vibrazionale di foto-dimerizzazioni [2+2] in cristalli molecolari

Lo scopo della tesi è lo studio di fotoreazioni di cicloaddizione [2 + 2] in stato solido mediante l’utilizzo di tecniche di spettroscopia vibrazionale Raman e IR. La nostra attenzione si è focalizzata su processi di sistemi organici del tipo “crystal to crystal” (CC) o “single crystal to single crystal” (SCSC), che avvengono con la trasformazione del cristallo del reagente in quello del prodotto. Argomento principale del lavoro di tesi sono i cristalli dei sali di bromuro e cloruro dell’acido 4-ammino-trans-cinnamico, che dimerizzano sotto irraggiamento UV. Il lavoro fa parte di un progetto di ampio respiro svolto in collaborazione con ricercatori del Dipartimento di Chimica “G. Ciamician”, che coinvolge anche cristalli misti dei due sali. Lo studio condotto da loro mediante misure di diffrazione ai raggi X ha stabilito che il processo in esame è del tipo SCSC. L’indagine in microscopia Raman su cristallo singolo si è prefissa di analizzare, in funzione del tempo di irraggiamento, l’evoluzione dello spettro delle vibrazioni sia intramolecolari che reticolari, ottenendo in una stessa misura informazioni sulla trasformazione chimica e su quella di reticolo. A differenza di quanto avviene in processi di dimerizzazione CC con ricostruzione di fase, si è constatato che reazione chimica e cambio di reticolo avvengono in modo parallelo e simultaneo. Inoltre si è osservato che lo spettro delle vibrazioni reticolari evolve senza soluzione di continuità da quello della fase reagente a quello della fase prodotto. Questo è un risultato interessante, di un fenomeno mai osservato prima nello studio Raman di reazioni in stato solido. L’analoga indagine IR su polveri, che si limita alla vibrazione intermolecolare, ha permesso di ricavare la legge cinetica della reazione. Lo stesso metodo di indagine spettroscopica è stato applicato anche alla fotodimerizzazone con meccanismo [2 + 2] dell’acido trans-3-(2-furil)acrilico, processo interessante dal punto di vista industriale.