Electrical Impedance Tomography: strategie algoritmiche per il problema inverso

La tomografia ad impedenza elettrica è un metodo di imaging relativamente nuovo che ha suscitato interesse in un ampia gamma di discipline, la sua portabilità, sicurezza e basso costo suggeriscono che potrebbe risolvere diversi problemi clinici. Matematicamente il problema dell'EIT può essere suddiviso in un problema in avanti e uno inverso. Il problema forward, si basa su un'equazione differenziale parziale ellittica, e definisce l'insieme delle tensioni misurate a partire da una distribuzione nota di conducibilità. Il problema inverso è modellato come un problema dei minimi quadrati non lineare, in cui si cerca di ridurre al minimo la differenza tra le tensioni misurate e quelle generate dalla conducibilità ricostruita. Il problema inverso è mal posto e porta ad una soluzione che non dipende con continuità dai dati e quindi le tecniche di ricostruzione richiedono l'introduzione di un termine di regolarizzazione. L'elaborato si concentra sulle strategie algoritmiche per il problema inverso e sulla realizzazione di un'interfaccia grafica in grado di settare i parametri e confrontare velocemente i metodi proposti. Il progetto nella sua visione più ampia vorrebbe utilizzare le strategie algoritmiche proposte per dati ottenuti dal sistema prodotto dall'Università di Bologna nel laboratorio di Ingegneria Cellulare e Molecolare (ICM) di Cesena. I risultati dei test consentono di delineare quali siano gli strumenti migliori per poter arrivare ad una corretta ricostruzione dell'immagine nonché suggerire possibili miglioramenti della configurazione hardware al fine arrivare a risultati sperimentali completi.

Algoritmi di regolarizzazione con variazione totale nella ricostruzione di immagini di tomosintesi

La tomografia computerizzata (CT) è una metodica di diagnostica per immagini che consiste in una particolare applicazione dei raggi X. Essa, grazie ad una valutazione statistico-matematica (computerizzata) dell'assorbimento di tali raggi da parte delle strutture corporee esaminate, consente di ottenere immagini di sezioni assiali del corpo umano. Nonostante le dosi di radiazioni somministrate durante un esame siano contenute, questa tecnica rimane sconsigliata per pazienti sensibili, perciò nasce il tentativo della tomosintesi: ottenere lo stesso risultato della CT diminuendo le dosi somministrate. Infatti un esame di tomosintesi richiede poche proiezioni distribuite su un range angolare di appena 40°. Se da una parte la possibilità di una ingente diminuzione di dosi e tempi di somministrazione costituisce un grosso vantaggio dal punto di vista medico-diagnostico, dal punto di vista matematico esso comporta un nuovo problema di ricostruzione di immagini: infatti non è banale ottenere risultati validi come per la CT con un numero basso di proiezioni,cosa che va a infierire sulla mal posizione del problema di ricostruzione. Un possibile approccio al problema della ricostruzione di immagini è considerarlo un problema inverso mal posto e studiare tecniche di regolarizzazione opportune. In questa tesi viene discussa la regolarizzazione tramite variazione totale: verranno presentati tre algoritmi che implementano questa tecnica in modi differenti. Tali algoritmi verranno mostrati dal punto di vista matematico, dimostrandone ben posizione e convergenza, e valutati dal punto di vista qualitativo, attraverso alcune immagini ricostruite. Lo scopo è quindi stabilire se ci sia un metodo più vantaggioso e se si possano ottenere buoni risultati in tempi brevi, condizione necessaria per una applicazione diffusa della tomosintesi a livello diagnostico. Per la ricostruzione si è fatto riferimento a problemi-test cui è stato aggiunto del rumore, così da conoscere l'immagine originale e poter vedere quanto la ricostruzione sia ad essa fedele. Il lavoro principale dunque è stata la sperimentazione degli algoritmi su problemi test e la valutazione dei risultati, in particolare per gli algoritmi SGP e di Vogel, che in letteratura sono proposti per problemi di image deblurring.

Inversione della trasformata di Laplace mediante regolarizzazione con norma L1

I dati derivanti da spettroscopia NMR sono l'effetto di fenomeni descritti attraverso la trasformata di Laplace della sorgente che li ha prodotti. Ci si riferisce a un problema inverso con dati discreti ed in relazione ad essi nasce l'esigenza di realizzare metodi numerici per l'inversione della trasformata di Laplace con dati discreti che è notoriamente un problema mal posto e pertanto occorre ricorrere a metodi di regolarizzazione. In questo contesto si propone una variante ai modelli presenti il letteratura che fanno utilizzo della norma L2, introducendo la norma L1.

Ottimizzazione di metodi numerici e realizzazione di un setup per l'imaging di colture cellulari 3D con tomografia ad impedenza elettrica

Il presente lavoro di tesi presenta la progettazione, realizzazione e applicazione di un setup sperimentale miniaturizzato per la ricostruzione di immagine, con tecnica di Tomografia ad Impedenza Elettrica (EIT). Il lavoro descritto nel presente elaborato costituisce uno studio di fattibilità preliminare per ricostruire la posizione di piccole porzioni di tessuto (ordine di qualche millimetro) o aggregati cellulari dentro uno scaffold in colture tissutali o cellulari 3D. Il setup disegnato incorpora 8 elettrodi verticali disposti alla periferia di una camera di misura circolare del diametro di 10 mm. Il metodo di analisi EIT è stato svolto utilizzando i) elettrodi conduttivi per tutta l’altezza della camera (usati nel modello EIT bidimensionale e quasi-bidimensionale) e ii) elettrodi per deep brain stimulation (conduttivi esclusivamente su un ridotto volume in punta e posti a tre diverse altezze: alto, centro e basso) usati nel modello EIT tridimensionale. Il metodo ad elementi finiti (FEM) è stato utilizzato per la soluzione sia del problema diretto che del problema inverso, con la ricostruzione della mappa di distribuzione della conduttività entro la camera di misura. Gli esperimenti svolti hanno permesso di ricostruire la mappa di distribuzione di conduttività relativa a campioni dell’ordine del millimetro di diametro. Tali dimensioni sono compatibili con quelle dei campioni oggetto di studio in ingegneria tissutale e, anche, con quelle tipiche dei sistemi organ-on-a-chip. Il metodo EIT sviluppato, il prototipo del setup realizzato e la trattazione statistica dei dati sono attualmente in fase di implementazione in collaborazione con il gruppo del Professor David Holder, Dept. Medical Physics and Bioengineering, University College London (UCL), United Kingdom.

Tomografia da analisi di rumore sismico nell'Italia settentrionale

Questa tesi si pone l'obiettivo di applicare un metodo lineare per l'inversione delle curve di dispersione delle onde superficiali di Rayleigh da rumore sismico, al fine di descrivere con maggior definizione la struttura della crosta terrestre in corrispondenza dell'Italia settentrionale e confrontarlo con il modello di riferimento. Si è fatto uso del processo di cross-correlazione applicato al rumore sismico per ricostruire la Funzione di Green per ogni coppia di stazioni. Sono state considerate circa 100 stazioni, tutte nel Nord-Italia. I segnali ottenuti sono costituiti principalmente da onde di superficie, in particolare onde di Rayleigh, le quali dominano i segnali in ampiezza. Per periodi compresi tra 1s e 50s, per ogni raggio tra coppie di stazioni, è stata misurata la velcoità di gruppo tramite l'utilizzo del software EGFAnalysisTimeFreq per Matlab. Le curve di dispersione così ottenute sono state utilizzate come dato per la risoluzione del problema inverso, al fine di ottenere mappe2D della velocità di gruppo che è fortemente dipendente dalle caratteristiche del mezzo. Infine queste ultime sono state confrontate con mappe di un modello esistente per la regione (Molinari et al. [22]).

Innovazioni nel campo dell'ElettroEncefalografia

Il funzionamento del cervello umano, organo responsabile di ogni nostra azione e pensiero, è sempre stato di grande interesse per la ricerca scientifica. Dopo aver compreso lo sviluppo dei potenziali elettrici da parte di nuclei neuronali in risposta a stimoli, si è riusciti a graficare il loro andamento con l'avvento dell'ElettroEncefaloGrafia (EEG). Tale tecnologia è entrata a far parte degli esami di routine per la ricerca di neuropsicologia e di interesse clinico, poiché permette di diagnosticare e discriminare i vari tipi di epilessia, la presenza di traumi cranici e altre patologie del sistema nervoso centrale. Purtroppo presenta svariati difetti: il segnale è affetto da disturbi e richiede un'adeguata elaborazione tramite filtraggio e amplificazione, rimanendo comunque sensibile a disomogeneità dei tessuti biologici e rendendo difficoltoso il riconoscimento delle sorgenti del segnale che si sono attivate durante l'esame (il cosiddetto problema inverso). Negli ultimi decenni la ricerca ha portato allo sviluppo di nuove tecniche d'indagine, di particolare interesse sono la ElettroEncefaloGrafia ad Alta Risoluzione (HREEG) e la MagnetoEncefaloGrafia (MEG). L'HREEG impiega un maggior numero di elettrodi (fino a 256) e l'appoggio di accurati modelli matematici per approssimare la distribuzione di potenziale elettrico sulla cute del soggetto, garantendo una migliore risoluzione spaziale e maggior sicurezza nel riscontro delle sorgenti neuronali. Il progresso nel campo dei superconduttori ha reso possibile lo sviluppo della MEG, che è in grado di registrare i deboli campi magnetici prodotti dai segnali elettrici corticali, dando informazioni immuni dalle disomogeneità dei tessuti e andando ad affiancare l'EEG nella ricerca scientifica. Queste nuove tecnologie hanno aperto nuovi campi di sviluppo, più importante la possibilità di comandare protesi e dispositivi tramite sforzo mentale (Brain Computer Interface). Il futuro lascia ben sperare per ulteriori innovazioni.

Densita con la proprieta di media per i sub-Laplaciani

Nella tesi studiamo le densità con la proprietà di media per i sub-Laplaciani. In particolare determiniamo un’espressione generale per una densità positiva con la proprietà di media, su un insieme Ω generico che soddisfi certe prorpietà di regolarità. Troviamo inoltre delle stime della funzione di Green e del nucleo di Poisson per un qualsiasi sub-Laplaciano su un generico gruppo di Carnot e tramite queste stime troviamo delle condizioni sufficienti affinchè, con la densità precedentemente trovata, si possa avere una struttura di Γ-tripla sull’insieme Ω. Studiamo infine un problema inverso per il quale sarà fondamentale avere una struttura di Γ-tripla.

Approccio meccanico statistico allo studio delle Macchine di Boltzmann Ristrette

La Macchina di Boltzmann Ristretta (RBM) è una rete neurale a due strati utilizzata principalmente nell'apprendimento non supervisionato. La sua capacità nel rappresentare complesse relazioni insite nei dati attraverso distribuzioni di tipo Boltzmann Gibbs la rende un oggetto particolarmente interessante per un approfondimento teoretico in ambito fisico matematico. In questa tesi vengono presentati due ambiti di applicazione della meccanica statistica all'apprendimento automatico. 1) La similarità della RBM a unità binarie con il modello di Ising permette di sfruttare un'espansione alle alte temperature per approssimare l'energia libera, termine presente nel gradiente della likelihoood e difficile da trattare numericamente. I risultati ottenuti con questa tecnica sul dataset MNIST sono paragonabili a quelli ottenuti dalla Contrastive Divergence, che utilizza invece metodi di Monte Carlo. 2) L'equivalenza statistica della variante ibrida di RBM con il modello di Hopfield permette di studiare la taglia del training set necessaria per l'apprendimento attraverso l'analisi del problema inverso, in cui i ruoli di spin e pattern sono invertiti. Viene quindi presentato un metodo basato sulla teoria di Gauge che permette di derivare il diagramma di fase del modello di Hopfield duale sulla linea di Nishimori in funzione della temperatura e del rapporto tra numero di campioni e dimensione del sistema.

A dive into the inverse Galois problem

Il problema inverso di Galois classico consiste nel chiedersi se, dato un gruppo finito G, esista una estensione di Galois del campo dei numeri razionali che abbia come gruppo di Galois il gruppo G. Una volta verificata l'esistenza di una tale estensione poi, si cercano polinomi a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois sia G stesso. Noto dall'inizio del diciannovesimo secolo, il problema è tuttora in generale irrisolto, nonostante nel corso degli anni siano stati fatti notevoli progressi. In questa tesi il problema viene affrontato e risolto in alcuni casi particolari: viene mostrata la realizzazione dei gruppi ciclici, dei gruppi abeliani e dei gruppi simmetrici come gruppi di Galois sul campo dei razionali, e vengono dati alcuni esempi di polinomi con tali gruppi di Galois.

Il segnale EEG in un compito di ’center-out reaching’: analisi e decodifica a livello di scalpo e di corteccia

Nellâ analisi del segnale EEG, sono di particolare interesse i potenziali evento correlato (ERP), che descrivono la risposta cerebrale in seguito alla presentazione di stimoli o eventi esterni o interni. Questi potenziali non sono immediatamente visibili sul tracciato EEG grezzo, ed è necessario, oltre ad unâ��accurata fase di preprocessing, mediare (averaging) i segnali di molti trial ripetuti per visualizzare tali risposte nel tempo. Questo studio ha posto l' attenzione sugli ERP visuomotori generati in un compito di center-out reaching, che prevede il raggiungimento di uno tra cinque target, ognuno associato ad un LED, mediante il braccio dominante, con una tempistica scandita dalla presentazione di due stimoli visivi: lo stimolo preparatorio ¸ (che indica il target) e lo stimolo imperativo (che dà il via libera al movimento). I segnali ERP, ottenuti mediante la tecnica dellâ averaging, sono stati analizzati sia a livello di scalpo, considerando i segnali di elettrodo, sia a livello di corteccia, dopo risoluzione del problema inverso, e considerando rappresentazioni prima a livello di singoli dipoli corticali e quindi di intere regioni corticali (ROI). Inoltre, è stata applicato un metodo di deep learning (rete neurale convoluzionale) per decodificare il segnale EEG a livello di singolo trial, ovvero classificare il target coinvolto nello specifico trial. La decodifica è stata applicata sia ai segnali di scalpo sia ai segnali delle ROI corticali. Complessivamente i risultati mostrano ERP ben visibili a livello di scalpo e legati sia a processing visivo che motorio. Gli ERP a livello di ROI corticali sono più rumorosi e sembrano cogliere meno processing motorio rispetto al visivo, presumibilmente anche in conseguenza di alcune scelte metodologiche nella ricostruzione di segnali di ROI. In linea con questo, le performance di decodifica sono migliori a livello di scalpo che di ROI corticali.

Emissione di compton inverso e applicazioni astrofisiche

Nella tesi vengono trattati i fenomeni di urto tra fotoni e elettroni, nella fattispecie si riconoscono tre urti differenti: lo scattering Thomson, Compton e Compton Inverso (IC). L'attenzione viene focalizzata sull'effetto IC. Una volta riportati i risultati sui tre processi sopracitati, il testo prosegue con la trattazione del problema di interesse astrofisico, ovvero la Comptonizzazione. La Comptonizzazione è il caso più generale in cui IC e effetto Compton competono, e stabilisce come lo spettro fotonico viene modificato a causa delle interazioni col plasma. Vengono in seguito trattati due interessanti applicazioni astrofisiche della Comptonizzazione: l' effetto Sunyaev-Zel'Dovich e il Synchrotron-self-Compton.