The Poincaré polynomial for the Hilbert scheme of points of C^2

Questo lavoro prende in esame lo schema di Hilbert di punti di C^2, il quale viene descritto assieme ad alcune sue proprietà, ad esempio la sua struttura hyper-kahleriana. Lo scopo della tesi è lo studio del polinomio di Poincaré di tale schema di Hilbert: ciò che si ottiene è una espressione del tipo serie di potenze, la quale è un caso particolare di una formula molto più generale, nota con il nome di formula di Goettsche.

Lo spazio dodecaedrico di Poincaré

Si descrive lo spazio di Poincaré tramite la sua descrizione come dodecaedro con identificazioni sul bordo. A tal proposito sono analizzate le proprietà di gruppo su S^3 (quaternioni) e le proprietà dei politopi regolari in 4 dimensioni. Infine sono calcolati gruppo fondamentale e omologia dello spazio, si dimostra che è una sfera d'omologia e vengono descritte le sue principali proprietà ponendo l'accento sull'importanza storica e matematica di questo spazio.

Il teorema di Poincaré sulla stabilità di orbite periodiche

In questa tesi si introduce l'analisi della stabilità delle orbite periodiche mostrandone un risultato fondamentale: il Teorema di Poinaré. A tal fine sono preliminarmente riportati alcune definizioni e risultati riguardanti la stabilità delle soluzioni e l'esistenza di soluzioni periodiche

Formule di rappresentazione e disuguaglianze di Sobolev e Poincaré

La tesi si suddivide in tre capitoli. Nel primo capitolo viene presentata una prima dimostrazione della disuguaglianza di Sobolev. La prova del Capitolo 1 si basa in modo essenziale sul fatto che R^ n è prodotto cartesiano di R per se stesso n volte. Nel Capitolo 2 si introducono i cosiddetti potenziali di Riesz Iα, con 0 < α < n che sono una tra le più importanti classi di operatori di convoluzione. Vediamo come sia possibile legare la teoria di questi operatori di tipo integrale frazionario a formule di rappresentazione . Il teorema principale di questo capitolo è il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev: si forniscono stime in norma L^p per tali operatori. La prova di tale teorema che qui abbiamo fornito segue l’idea di dimostrazione di Hedberg ed è basata sull’uso della disuguaglianza di Holder e sulle stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Le stime per il nucleo di Riesz I_1 sono state utilizzate nel Capitolo 3 per dimostrare le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré nel caso p ∈]1, n[. Il caso p = 1 viene trattato a parte in quanto, nel caso p = 1, il teorema di Hardy-Littlewood- Sobolev fornisce solo una stima di tipo debole per il nucleo di Riesz I_1. Questo tipo di approccio, mediante le formule di rappresentazione, ha il vantaggio che può essere adattato a contesti geometrici diversi da quello Euclideo e a misure diverse della misura di Lebesgue. Infine, sempre nel Capitolo 3 abbiamo dato un breve cenno del collegamento che si ha tra la disuguaglianza di Sobolev nel caso p=1 e il problema isoperimetrico in R^n.