Semiclassical analysis of systems of Schrödinger equations

The scalar Schrödinger equation models the probability density distribution for a particle to be found in a point x given a certain potential V(x) forming a well with respect to a fixed energy level E_0. Formally two real inversion points a,b exist such that V(a)=V(b)=E_0, V(x)<0 in (a,b) and V(x)>0 for xb. Following the work made by D.Yafaev and performing a WKB approximation we obtain solutions defined on specific intervals. The aim of the first part of the thesis is to find a condition on E, which belongs to a neighbourhood of E_0, such that it is an eigenvalue of the Schrödinger operator, obtaining in this way global and linear dependent solutions in L2. In quantum mechanics this condition is known as Bohr-Sommerfeld quantization. In the second part we define a Schrödinger operator referred to two potential wells and we study the quantization conditions on E in order to have a global solution in L2xL2 with respect to the mutual position of the potentials. In particular their wells can be disjoint,can have an intersection, can be included one into the other and can have a single point intersection. For these cases we refer to the works of A.Martinez, S. Fujiié, T. Watanabe, S. Ashida.

Black holes as quantum bound states

We present a new quantum description for the Oppenheimer-Snyder model of gravitational collapse of a ball of dust. Starting from the geodesic equation for dust in spherical symmetry, we introduce a time-independent Schrödinger equation for the radius of the ball. The resulting spectrum is similar to that of the Hydrogen atom and Newtonian gravity. However, the non-linearity of General Relativity implies that the ground state is characterised by a principal quantum number proportional to the square of the ADM mass of the dust. For a ball with ADM mass much larger than the Planck scale, the collapse is therefore expected to end in a macroscopically large core and the singularity predicted by General Relativity is avoided. Mathematical properties of the spectrum are investigated and the ground state is found to have support essentially inside the gravitational radius, which makes it a quantum model for the matter core of Black Holes. In fact, the scaling of the ADM mass with the principal quantum number agrees with the Bekenstein area law and the corpuscular model of Black Holes. Finally, the uncertainty on the size of the ground state is interpreted within the framework of an Uncertainty Principle.

How to get an equation named after you (part I)

Abstract|IT Nelle lauree triennali le pubblicazioni scientifiche non vengono studiate. Per quanto possa rivelarsi un piccolo intervento, lo scopo di questa tesi è invece quello di rendere più accessibili ai pochi interessati alcune vecchie e polverose pubblicazioni. Inoltre, la presente tesi non dovrebbe essere trattata come un lavoro a se stante, ma come il primo mattone di un progetto che comprende tutte le maggiori pubblicazioni della storia. How to get an equation named after you (Part I) in particolare discute la serie di pubblicazioni del 1926 di Schrödinger "Quantisierung als Eigenwertproblem" e l’articolo del 1928 di Dirac "The Quantum Theory of the Electron", ovvero quei lavori dove le equazioni di Schrödinger e Dirac vennero per prime derivate. La serie di articoli del 1926 sommano ad un totale di oltre 100 pagine. Inizialmente Schrödinger dimostra come ciò su cui è basata la sua teoria possa spiegare correttamente fenomeni conosciuti come l’atomo di idrogeno e l’effetto Stark, per poi derivare la famosa equazione d’onda complessa del secondo ordine. I procedimenti matematici, in questi articoli, sono complicati e molte delle dimostrazioni non vengono mostrate oppure risultano inutilmente lunghe. La pubblicazione di Dirac invece ha principalmente a che fare con la derivazione dell’equazione, la sua generalizzazione e l’invarianza relativistica. Dimostra inoltre che tale equazione è compatibile con passate teorie. La lettura di Dirac è molto più sistematica, dato il largo utilizzo di dimostrazioni matematiche laddove Schrödinger avrebbe usato parole.