Heat kernel and worldline path integrals for the Proca theory

In this thesis we study the heat kernel, a useful tool to analyze various properties of different quantum field theories. In particular, we focus on the study of the one-loop effective action and the application of worldline path integrals to derive perturbatively the heat kernel coefficients for the Proca theory of massive vector fields. It turns out that the worldline path integral method encounters some difficulties if the differential operator of the heat kernel is of non-minimal kind. More precisely, a direct recasting of the differential operator in terms of worldline path integrals, produces in the classical action a non-perturbative vertex and the path integral cannot be solved. In this work we wish to find ways to circumvent this issue and to give a suggestion to solve similar problems in other contexts.

Spectral Splitting of Purely Magnetic Schrödinger Operator in 2-d

La tesi ripercorre i procedimenti utilizzati per il calcolo dell'asintotica dello splitting dell'operatore puramente magnetico di Schrödinger nel limite semiclassico (con campo magnetico costante) in un dominio aperto limitato e semplicemente connesso il cui bordo ha simmetria assiale ed esattamente due punti di curvatura massima non degeneri. Il punto di partenza è trovare stime a priori sulle sue autofunzioni, che permettono di dire che sono localizzate esponenzialmente vicino al bordo del dominio in oggetto, grazie a queste stime di riesce a modificare l'operatore in maniera tale che l'asintotica dello splitting rimanga equivalente. Si passa in seguito a coordinate tubulari, quindi si rettifica il borso del dominio, andando però a complicare il potenziale magnetico. Si ottengono nuove stime a priori per le autofunzioni. A questo punto si considera lo stesso operatore differenziale ma su un dominio modificato, in cui viene eliminato uno dei punti di curvatura massima. Per tale operatore si ha uno sviluppo asintotico delle autofunzioni (anche dette soluzioni WKB). Si utilizzano poi strumenti di calcolo pseudo-differenziale per studiare l'operatore nel nuovo dominio, ne si localizza la fase per renderlo limitato ed ottenere così una parametrice (anch'essa limitata) avente un simbolo esplicito. Se ne deducono stime di tipo ellittico che possono essere portate all'operatore senza la fase localizzata aggiungendo dei termini di errore. Grazie queste stime si riesce ad approssimare lo splitting (controllando sempre l'errore) che volevamo calcolare (quello dell'operatore sul dominio con due punti di curvatura massima) tramite le autofunzioni dell'operatore sul dominio con un solo punto di curvatura massima, e per queste autofunzioni abbiamo lo sviluppo asintotico (WKB). Considerando l'ordine principale di questi sviluppi si riesce a calcolare esplicitamente il termine dominante dello splitting, ottenendone così l'asintotica nel limite semiclassico.