Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.

Il Teorema di Inversione di Lévy

In questa tesi si dimostra il teorema di inversione di Lévy, risultato che permette di ricostruire, a partire dalla funzione caratteristica di una variabile aleatoria assolutamente continua, la sua densità. Come conseguenza si dimostra che la funzione caratteristica di una variabile aleatoria ne caratterizza univocamente la distribuzione. Viene inoltre presentata una applicazione della formula di inversione per la valutazione di opzioni in finanza con esempi numerici basati sul modello Merton.

On the recurrence of random walks in Lévy random environments

This thesis investigates one-dimensional random walks in random environment whose transition probabilities might have an infinite variance. The ergodicity of the dynamical system ''from the point of view of the particle'' is proved under the assumptions of transitivity and existence of an absolutely continuous steady state on the space of the environments. We show that, if the average of the local drift over the environments is summable and null, then the RWRE is recurrent. We provide an example satisfying all the hypotheses.

La trasformata di Fourier nella valutazione d'opzioni

Lo scopo di questa tesi è di fornire una analisi sistematica delle condizioni necessarie per l’esistenza delle formule di valutazione di opzioni che impiegano la trasformata di Fourier. Perchè la trasformata di Fourier? Se assumiamo che il processo del prezzo del sottostante sia un processo di Lévy noi non conosciamo solitamente la sua Legge di probabilità ma sempre la sua funzione caratteristica che è proprio la trasformata di Fourier della Legge.

Ottimalità dell'ottimalità - Complessità della riduzione su grafi di condivisione

Trent’anni or sono il concetto di ottimalità venne formulato in senso teorico da Lévy, ma solo un decennio dopo Lamping riesce a darne elegante implementazione algoritmica. Realizza un sistema di riduzione su grafi che si scoprirà poi avere interessanti analogie con la logica lineare presentata nello stesso periodo da Girard. Ma l’ottimalità è davvero ottimale? In altre parole, l’implementazione ottimale del λ calcolo realizzata attraverso i grafi di condivisione, è davvero la migliore strategia di riduzione, in termini di complessità? Dopo anni di infondati dubbi e di immeritato oblìo, alla conferenza LICS del 2007, Baillot, Coppola e Dal Lago, danno una prima risposta positiva, seppur parziale. Considerano infatti il caso particolare delle logiche affini elementare e leggera, che possiedono interessanti proprietà a livello di complessità intrinseca e semplificano l’arduo problema. La prima parte di questa tesi presenta, in sintesi, la teoria dell’ottimalità e la sua implementazione condivisa. La seconda parte affronta il tema della sua complessità, a cominciare da una panoramica dei più importanti risultati ad essa legati. La successiva introduzione alle logiche affini, e alle relative caratteristiche, costituisce la necessaria premessa ai due capitoli successivi, che presentano una dimostrazione alternativa ed originale degli ultimi risultati basati appunto su EAL e LAL. Nel primo dei due capitoli viene definito un sistema intermedio fra le reti di prova delle logiche e la riduzione dei grafi, nel secondo sono dimostrate correttezza ed ottimalità dell’implementazione condivisa per mezzo di una simulazione. Lungo la trattazione sono offerti alcuni spunti di riflessione sulla dinamica interna della β riduzione riduzione e sui suoi legami con le reti di prova della logica lineare.