Calculation of the eigenfunctions of the two-group neutron diffusion equation and application to modal decomposition of BWR instabilities

In this thesis, numerical methods aiming at determining the eigenfunctions, their adjoint and the corresponding eigenvalues of the two-group neutron diffusion equations representing any heterogeneous system are investigated. First, the classical power iteration method is modified so that the calculation of modes higher than the fundamental mode is possible. Thereafter, the Explicitly-Restarted Arnoldi method, belonging to the class of Krylov subspace methods, is touched upon. Although the modified power iteration method is a computationally-expensive algorithm, its main advantage is its robustness, i.e. the method always converges to the desired eigenfunctions without any need from the user to set up any parameter in the algorithm. On the other hand, the Arnoldi method, which requires some parameters to be defined by the user, is a very efficient method for calculating eigenfunctions of large sparse system of equations with a minimum computational effort. These methods are thereafter used for off-line analysis of the stability of Boiling Water Reactors. Since several oscillation modes are usually excited (global and regional oscillations) when unstable conditions are encountered, the characterization of the stability of the reactor using for instance the Decay Ratio as a stability indicator might be difficult if the contribution from each of the modes are not separated from each other. Such a modal decomposition is applied to a stability test performed at the Swedish Ringhals-1 unit in September 2002, after the use of the Arnoldi method for pre-calculating the different eigenmodes of the neutron flux throughout the reactor. The modal decomposition clearly demonstrates the excitation of both the global and regional oscillations. Furthermore, such oscillations are found to be intermittent with a time-varying phase shift between the first and second azimuthal modes.

Weighted geometric mean of large-scale matrices: numerical analysis and algorithms

Computing the weighted geometric mean of large sparse matrices is an operation that tends to become rapidly intractable, when the size of the matrices involved grows. However, if we are not interested in the computation of the matrix function itself, but just in that of its product times a vector, the problem turns simpler and there is a chance to solve it even when the matrix mean would actually be impossible to compute. Our interest is motivated by the fact that this calculation has some practical applications, related to the preconditioning of some operators arising in domain decomposition of elliptic problems. In this thesis, we explore how such a computation can be efficiently performed. First, we exploit the properties of the weighted geometric mean and find several equivalent ways to express it through real powers of a matrix. Hence, we focus our attention on matrix powers and examine how well-known techniques can be adapted to the solution of the problem at hand. In particular, we consider two broad families of approaches for the computation of f(A) v, namely quadrature formulae and Krylov subspace methods, and generalize them to the pencil case f(A\B) v. Finally, we provide an extensive experimental evaluation of the proposed algorithms and also try to assess how convergence speed and execution time are influenced by some characteristics of the input matrices. Our results suggest that a few elements have some bearing on the performance and that, although there is no best choice in general, knowing the conditioning and the sparsity of the arguments beforehand can considerably help in choosing the best strategy to tackle the problem.

Progettazione e sviluppo di una versione distribuita di un algoritmo di subspace clustering

Il task del data mining si pone come obiettivo l'estrazione automatica di schemi significativi da grandi quantità di dati. Un esempio di schemi che possono essere cercati sono raggruppamenti significativi dei dati, si parla in questo caso di clustering. Gli algoritmi di clustering tradizionali mostrano grossi limiti in caso di dataset ad alta dimensionalità, composti cioè da oggetti descritti da un numero consistente di attributi. Di fronte a queste tipologie di dataset è necessario quindi adottare una diversa metodologia di analisi: il subspace clustering. Il subspace clustering consiste nella visita del reticolo di tutti i possibili sottospazi alla ricerca di gruppi signicativi (cluster). Una ricerca di questo tipo è un'operazione particolarmente costosa dal punto di vista computazionale. Diverse ottimizzazioni sono state proposte al fine di rendere gli algoritmi di subspace clustering più efficienti. In questo lavoro di tesi si è affrontato il problema da un punto di vista diverso: l'utilizzo della parallelizzazione al fine di ridurre il costo computazionale di un algoritmo di subspace clustering.

Preconditioning strategies for the numerical solution of convection-diffusion partial differential equations

Il trattamento numerico dell'equazione di convezione-diffusione con le relative condizioni al bordo, comporta la risoluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni in cui la matrice dei coefficienti è non simmetrica. Risolutori iterativi basati sul sottospazio di Krylov sono ampiamente utilizzati per questi sistemi lineari la cui risoluzione risulta particolarmente impegnativa nel caso di convezione dominante. In questa tesi vengono analizzate alcune strategie di precondizionamento, atte ad accelerare la convergenza di questi metodi iterativi. Vengono confrontati sperimentalmente precondizionatori molto noti come ILU e iterazioni di tipo inner-outer flessibile. Nel caso in cui i coefficienti del termine di convezione siano a variabili separabili, proponiamo una nuova strategia di precondizionamento basata sull'approssimazione, mediante equazione matriciale, dell'operatore differenziale di convezione-diffusione. L'azione di questo nuovo precondizionatore sfrutta in modo opportuno recenti risolutori efficienti per equazioni matriciali lineari. Vengono riportati numerosi esperimenti numerici per studiare la dipendenza della performance dei diversi risolutori dalla scelta del termine di convezione, e dai parametri di discretizzazione.