Alcuni problemi di dinamica relativa del punto materiale.

Il documento tratta di alcuni problemi di dinamica relativa. Dopo un'introduzione sulla cinematica vengono analizzati principalmente, in ambito statico e dinamico, il problema della variazione del peso in funzione della latitudine e il problema dei due corpi. Prendendo le origini da quest'ultimo, infine vengono esposte le tre leggi di Keplero

Alle origini dei logaritmi

Scopo della tesi è illustrare l'origine della nozione di logaritmo nei suoi primi decenni dalla nascita, partendo dalle opere di J. Napier (Nepero, 1550-1617) fino a B. Cavalieri (1598-1647), che insieme a J. Keplero (1571-1630) concludono la cosiddetta età pioneristica. Nel primo capitolo sono esposti alcuni mezzi di calcolo usati nel XVI secolo, come i "bastoncini di Nepero"; e il confronto della progressione geometrica con quella aritmetica, che con la conoscenza delle leggi esponenziali, porterà all'invenzione dei logaritmi. Il secondo capitolo è dedicato interamente a Napier (fatto salvo un cenno all'opera di Burgi), con lo scopo di illustrare i suoi due maggiori trattati sui logaritmi: il primo fu sostanzialmente una tavola di numeri da lui inizialmente chiamati "numeri artificiali" e successivamente definiti "logaritmi"; il secondo, curato e pubblicato dal figlio, è un trattato nel quale giustifica il nuovo concetto da lui ottenuto ed i metodi usati per il calcolo delle tavole. Con Henry Briggs (capitolo III) la teoria del logaritmo giunge a maturazione. Egli stesso definì una propria funzione logaritmica Bl_1 che, in seguito, mutò dopo un paio di incontri con Napier. Nelle tavole di Briggs il logaritmo da lui introdotto avrà base 10 e il logaritmo di 1 sarà nullo, definendo così il nostro usuale logaritmo decimale. Nel quarto capitolo mi occupo della diffusione in Italia e in Germania delle nozioni di logaritmo, da parte, rispettivamente di B. Cavalieri e J. Keplero. Cavalieri scrisse parecchio sui logaritmi, pubblicando anche proprie tavole, ma non sembra che abbia raggiunto risultati di grande rilevanza nel campo, tuttavia seppe usare la teoria dei logaritmi in campo geometrico giungendo a formule interessanti. La parte storica della tesi si conclude con alcune notizie sul contributo di Keplero e la diffusione della nozione dei logaritmi neperiani in Germania. La mia esposizione si conclude con qualche notizia sull'uso dei logaritmi e sul regolo calcolatore dalla fine del XIX secolo fin verso gli anni ’70 del secolo scorso.

Proprietà generali dei pianeti del Sistema Solare e ricerca di pianeti esterni

In quest’elaborato verranno trattate le caratteristiche fisiche, chimiche e morfologiche dei pianeti che compongono il Sistema Solare, escludendo però la Terra, in quanto lo studio del globo terrestre, seppur interessante, è argomento di geologia; per cui si è deciso di non descriverne le proprietà, anche se verrà usata la sua massa e il suo raggio come unità di riferimento per tutti i pianeti. Non verranno trattate questioni dinamiche come il problema di Keplero a piu` corpi e le risonanze orbitali, in quanto quest’argomento è già presente nell’elenco titoli degli elaborati delle laure triennali di Astronomia, per cui si esulerebbe dallo scopo di quest’elaborato; ci si limiterà dunque, soltanto ad accennare alcune questioni solo dove necessario. L’elaborato è suddiviso in varie sezioni: nella prima si farà un breve inventario di ciò che comprende il Sistema Solare e alle fasi della sua formazione che lo hanno portato alla sua attuale configurazione, nella seconda si analizzeranno le proprietà che definiscono i pianeti da un punto di vista fisico e le condizioni per cui assumono determinate caratteristiche, quali la forma, la temperatura di equilibrio, la presenza o meno di atmosfere e magnetosfere. Successivamente si passerà ad analizzare sommariamente, sotto le condizioni descritte nella sezione precedente, le proprietà caratteristiche di ciascun pianeta mettendo in evidenza analogie e differenze fra ciascun corpo. Dopo una breve sezione sui corpi minori e sulle decisioni che hanno portato a non considerare alcuni di questi corpi piu` come pianeti, si passerà a descrivere alcuni metodi di ricerca, grazie ai quali sono stati scoperti numerosi pianeti extrasolari. In appendice si riporteranno il significato di tutti i simboli e i valori delle costanti utilizzati spesso durante la stesura dell’elaborato.

Il problema dei due corpi

La tesi verte sul problema dei due corpi studiato in meccanica lagrangiana ed hamiltoniana. Segue poi un collegamento con il sistema solare, gli esopianeti e le tecniche di ricerca di essi.

Dinamica dei due e/o pochi corpi: sistemi binari, sistema solare

La dinamica dei due corpi è un problema di meccanica celeste di grande rilevanza per l’astrofisica, permette di studiare l’interazione tra due masse puntiformi che si muovono sotto una mutua attrazione gravitazionale, descritta dalle leggi universali della gravi- tazione di Newton. Inoltre è l’unico problema riguardante la dinamica gravitazionale per il quale si ha una completa e generale soluzione analitica. Nel capitolo 1 vengono introdotti gli strumenti matematici e il formalismo alla base del problema dei due corpi, utile per lo studio dell’interazione gravitazionale tra due masse puntiformi; arrivando a ricavare anche le leggi di Keplero. Risulta immediato immaginare che i sistemi osservati nell’universo non siano strettamente formati da soli due corpi, bensì potrebbe capitare che il numero n di corpi sia tale che n > 2. Successivamente, nel capitolo 2, viene trattato un caso più generale del problema dei due corpi, il problema dei tre corpi. Come si può intuire in questo caso si estenderà l’analisi all’interazione gravitazionale di 3 corpi, trattando inizialmente il problema nel quale uno dei tre corpi ha massa trascurabile rispetto agli altri due, detto problema dei tre corpi circolare ristretto. A seguire si tratta il caso generale del problema dei tre corpi, in cui le masse sono tra loro confrontabili. Al contrario del problema dei due corpi quello dei tre corpi non ha una soluzione analitica, viene risolto numericamente. In conclusione, nel capitolo 3, si trattano le interazioni di stelle o altri corpi in sistemi binari o a tre corpi, con alcune applicazioni astrofisiche. Vengono messi in luce esempi riguardanti il problema dei due corpi in ammassi globulari e dei tre corpi nel sistema solare, trattando in questo caso l’effetto dell’interazione a più corpi sulla precessione del perielio di Mercurio.

Numerical integration errors in deep space orbit determination

Il progetto di tesi è stato sviluppato durante il periodo di tirocinio svolto all’interno del “Laboratorio di Radio Scienza ed Esplorazione Planetaria” da un'esperienza da cui prende il nome lo stesso elaborato: ”Numerical integration errors in deep space orbit determination”. Lo scopo del sopraccitato laboratorio è stato quello di studiare in modo approfondito il problema kepleriano dei due corpi, per poi passare ad un’analisi del problema dei tre corpi e successivamente a n corpi (con particolare attenzione alle orbite dei satelliti medicei di Giove). Lo studio è stato affiancato ad un costante utilizzo della piattaforma di programmazione Matlab per l’elaborazione e la stesura di codici per il calcolo di traiettorie orbitali ed errori numerici. Infatti, il fulcro del lavoro è stato proprio il confronto di vari integratori e degli errori numerici derivanti dall’integrazione. Nella tesi, dapprima, viene introdotto il sistema Gioviano, vengono presentati i satelliti medicei, delineate le caratteristiche fisiche fondamentali e i principali motivi che portano ad avere particolare interesse nel conoscere lo sviluppo orbitale di tale sistema. In seguito, l'elaborato, dopo una dettagliata descrizione teorica del problema dei due corpi, presenta un codice per la rappresentazione di orbite kepleriane e il calcolo dei relativi errori commessi dal metodo numerico rispetto a quello analitico. Nell'ultimo capitolo, invece, il problema è esteso a più corpi dotati di massa e a tal proposito viene proposto un codice per la rappresentazione delle orbite descritte nel tempo da n corpi, date le condizioni iniziali, e il calcolo dei rispettivi errori nel sistema di riferimento (r,t,n). In merito a ciò, vengono infine testati diversi integratori per cercare quello con le migliori performance e sono poi analizzati alcuni parametri in input al problema per verificare sotto quali condizioni l’integratore lavora meglio.