Preconditioning strategies for the numerical solution of convection-diffusion partial differential equations

Il trattamento numerico dell'equazione di convezione-diffusione con le relative condizioni al bordo, comporta la risoluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni in cui la matrice dei coefficienti è non simmetrica. Risolutori iterativi basati sul sottospazio di Krylov sono ampiamente utilizzati per questi sistemi lineari la cui risoluzione risulta particolarmente impegnativa nel caso di convezione dominante. In questa tesi vengono analizzate alcune strategie di precondizionamento, atte ad accelerare la convergenza di questi metodi iterativi. Vengono confrontati sperimentalmente precondizionatori molto noti come ILU e iterazioni di tipo inner-outer flessibile. Nel caso in cui i coefficienti del termine di convezione siano a variabili separabili, proponiamo una nuova strategia di precondizionamento basata sull'approssimazione, mediante equazione matriciale, dell'operatore differenziale di convezione-diffusione. L'azione di questo nuovo precondizionatore sfrutta in modo opportuno recenti risolutori efficienti per equazioni matriciali lineari. Vengono riportati numerosi esperimenti numerici per studiare la dipendenza della performance dei diversi risolutori dalla scelta del termine di convezione, e dai parametri di discretizzazione.

Operator preconditioning per sistemi lineari provenienti dall’equazione di Poisson

Le equazioni alle derivate parziali lineari (PDE’s) hanno un ruolo centrale in molte applicazioni di tipo scientifico, ingegneristico, medico, finanziario e sociale. È necessario, per questo motivo, avere metodi robusti che permettano di approssimare soluzioni di classi di PDE’s. Nell’ambito dei problemi lineari ellittici stazionari, una delle procedure comunemente utilizzate consiste nel discretizzare l’equazione differenziale mediante l’approssimazione delle derivate con differenze finite nel dominio considerato, e risolvere il sistema lineare algebrico risultante. Lo scopo dell’elaborato è studiare la dipendenza della convergenza del metodo dei Gradienti Coniugati dal parametro di discretizzazione per problemi ellittici autoaggiunti. Studieremo inoltre accelerazioni del metodo di tipo “Operator preconditioning”, che permettono di rendere l’algoritmo indipendente da tale parametro di discretizzazione in termini di numero di iterazioni.

Sintesi di nuovi derivati tri-componente per target photodynamic therapy della neoplasia prostatica

Therapies for the treatment of prostate cancer show several limitations, especially when the cancer metastasizes or acquires resistance to treatment. In addition, most of the therapies currently used entails the occurrence of serious side effects. A different therapeutic approach, more selective and less invasive with respect either to radio or to chemotherapy, is represented by the photodynamic therapy (PDT). The PDT is a treatment that makes use of photosensitive drugs: these agents are pharmacologically inactive until they are irradiated with light at an appropriate wavelength and in the presence of oxygen. The drug, activated by light, forms singlet oxygen, a highly reactive chemical species directly responsible for DNA damage, thus of cell death. In this thesis we present two synthetic strategies for the preparation of two new tri-component derivatives for photodynamic therapy of advanced prostate cancer, namely DRPDT1 and DRPDT2. Both derivatives are formed by three basic elements covalently bounded to each other: a specific ligand with high affinity for the androgen receptor, a suitably chosen spacer molecule and a photoactivated molecule. In particular, DRPDT2 differs from DRPDT1 from the nature of the AR ligand. In fact, in the case of DRPDT2 we used a synthetically engineered androgen receptor ligand able to photo-react even in the absence of oxygen, by delivering NO radical. The presence of this additional pharmacophore, together with the porphyrin, may ensure an additive/synergistic effect to the photo-stimulated therapy, which than may act both in the presence of oxygen and in hypoxic conditions. This approach represents the first example of multimodal photodynamic therapy for prostate cancer.

Weighted geometric mean of large-scale matrices: numerical analysis and algorithms

Computing the weighted geometric mean of large sparse matrices is an operation that tends to become rapidly intractable, when the size of the matrices involved grows. However, if we are not interested in the computation of the matrix function itself, but just in that of its product times a vector, the problem turns simpler and there is a chance to solve it even when the matrix mean would actually be impossible to compute. Our interest is motivated by the fact that this calculation has some practical applications, related to the preconditioning of some operators arising in domain decomposition of elliptic problems. In this thesis, we explore how such a computation can be efficiently performed. First, we exploit the properties of the weighted geometric mean and find several equivalent ways to express it through real powers of a matrix. Hence, we focus our attention on matrix powers and examine how well-known techniques can be adapted to the solution of the problem at hand. In particular, we consider two broad families of approaches for the computation of f(A) v, namely quadrature formulae and Krylov subspace methods, and generalize them to the pencil case f(A\B) v. Finally, we provide an extensive experimental evaluation of the proposed algorithms and also try to assess how convergence speed and execution time are influenced by some characteristics of the input matrices. Our results suggest that a few elements have some bearing on the performance and that, although there is no best choice in general, knowing the conditioning and the sparsity of the arguments beforehand can considerably help in choosing the best strategy to tackle the problem.