Applicazione ai gruppi di Lie della prolungabilità per Equazioni Differenziali Ordinarie

Lo scopo di questa tesi è studiare in dettaglio l'articolo "A Completeness Result for Time-Dependent Vector Fields and Applications" di Stefano Biagi e Andrea Bonfiglioli, dove si ottiene una condizione sufficiente per la completezza di un campo vettoriale (dipendente dal tempo) in RN, che generalizza la ben nota condizione di invarianza a sinistra per i gruppi di Lie.

Geometria dei Gruppi Lineari Classici

La tesi è un'introduzione classica alla teoria dei Gruppi di Lie, con esempi tratti dall'algebra lineare elementare (fondamentalmente di gruppi matriciali). Dopo alcuni esempi concreti in dimensione tre, si passano a definire varietà topologiche e differenziali, e quindi gruppi di Lie astratti (assieme alle loro Algebre di Lie). Nel terzo capitolo si dimostra come alcuni sottogruppi del Gruppo Generale Lineare siano effettivamente Gruppi di Lie.

Azioni di gruppi topologici su varietà

Studio dei gruppi topologici, ovvero degli spazi topologici che possiedono anche una struttura di gruppo; le due strutture sono legate dal fatto che le applicazioni di gruppo sono continue.

Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Gruppi di permutazioni

Si studiano le proprietà principali dei gruppi di permutazioni e delle azioni di gruppo, con particolare riguardo a: gruppi intransitivi, gruppi primitivi, gruppi k-transitivi, gruppi imprimitivi. Si definiscono inoltre le nozioni di prodotto diretto e semidiretto interno ed esterno di gruppi, di prodotto subdiretto e di prodotto intrecciato di gruppi di permutazioni. Si presentano alcuni esempi legati alla geometria.

Alcune caratterizzazioni delle funzioni convesse nei gruppi di Carnot

In questa trattazione ci proponiamo di analizzare e approfondire alcune delle definizioni fondamentali di funzione convessa; l’ambiente nel quale lavoreremo non si limiterà a quello euclideo, ma spazierà anche tra gruppo di Heisenberg e gruppo di Carnot. In questo lavoro dimostriamo una nuova caratterizzazione delle funzioni convesse in termini delle proprietà di sottomedia.

Gruppi di omotopia di ordine superiore

Scopo di questa tesi è presentare i concetti topologici legati alla nozione di gruppo di omotopia, con particolare riferimento ai gruppi di omotopia delle sfere. Il capitolo introduttivo riguarda il gruppo fondamentale e il secondo capitolo la sua generalizzazione ai gruppi di omotopia di ordine superiore. Nel terzo capitolo è trattato il cobordismo con framing tra sottovarietà e la sua relazione con la teoria dell'omotopia. Negli ultimi due capitoli sono enunciati teoremi e risultati ottenuti nel problema ancora irrisolto del calcolo dei gruppi di omotopia delle sfere.

Stime Integrali su Gruppi di Tipo H e Principio Forte di Continuazione Unica

Lo scopo di questa tesi è dimostrare il Principio Forte di Continuazione Unica per opportune soluzioni di un'equazione di tipo Schrödinger Du=Vu, ove D è il sub-Laplaciano canonico di un gruppo di tipo H e V è un potenziale opportuno. Nel primo capitolo abbiamo esposto risultati già noti in letteratura sui gruppi di tipo H: partendo dalla definizione di tali gruppi, abbiamo fornito un'utile caratterizzazione in termini "elementari" che permette di esplicitare la soluzione fondamentale dei relativi sub-Laplaciani canonici. Nel secondo capitolo abbiamo mostrato una formula di rappresentazione per funzioni lisce sui gruppi di tipo H, abbiamo dimostrato una forma forte del Principio di Indeterminazione di Heisenberg (sempre nel caso di gruppi di tipo H) e abbiamo fornito una formula per la variazione prima dell'integrale di Dirichlet associato a Du=Vu. Nel terzo capitolo, infine, abbiamo analizzato le proprietà di crescita di funzioni di frequenza, utili a dimostrare le stime integrali che implicano in modo piuttosto immediato il Principio Forte di Continuazione Unica, principale oggetto del nostro studio.

p-gruppi di ordine "piccolo"

La tesi si basa sulla descrizione dei p-gruppi di ordine finito, definiti p-gruppi, cioè quei gruppi che hanno come cardinalità una potenza di un numero primo. Vengono enunciati i teoremi di Sylow e le sue conseguenze. Infine si discute il teorema fondamentale sui gruppi abeliani finiti e la funzione di Eulero.

Famiglie Normali per Operatori Sub-ellittici e i Teoremi di Montel e Koebe

Scopo della tesi è di estendere un celebre teorema di Montel, sulle famiglie normali di funzioni olomorfe, all'ambiente sub-ellittico delle famiglie di soluzioni u dell'equazione Lu=0, dove L appartiene ad un'ampia classe di operatori differenziali alle derivate parziali reali del secondo ordine in forma di divergenza, comprendente i sub-Laplaciani sui gruppi di Carnot, i Laplaciani sub-ellittici su arbitrari gruppi di Lie, oltre all'operatore di Laplace-Beltrami su varietà di Riemann. A questo scopo, forniremo una versione sub-ellittica di un altro notevole risultato, dovuto a Koebe, che caratterizza le funzioni armoniche come punti fissi di opportuni operatori integrali di media con nuclei non banali. Sarà fornito anche un adeguato sostituto della formula integrale di Cauchy.

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.