Problema di Cauchy per l'equazione del calore e l'equazione delle onde

Oggetto della mia tesi è la trasformata di Fourier e la sua applicazione alla risoluzione dell'equazione del calore e dell'equazione delle onde. Nel primo capitolo ricordo la definizione di trasformata di Fourier, alcune sue proprietà e infine la definizione di Spazi di Schwartz. Nel secondo capitolo risolverò l'equazione del calore e nel terzo l'equazione delle onde.

Analysis of the Kohn Laplacian on the Heisenberg Group and on Cauchy-Riemann Manifolds

The purpose of this study is to analyse the regularity of a differential operator, the Kohn Laplacian, in two settings: the Heisenberg group and the strongly pseudoconvex CR manifolds. The Heisenberg group is defined as a space of dimension 2n+1 with a product. It can be seen in two different ways: as a Lie group and as the boundary of the Siegel UpperHalf Space. On the Heisenberg group there exists the tangential CR complex. From this we define its adjoint and the Kohn-Laplacian. Then we obtain estimates for the Kohn-Laplacian and find its solvability and hypoellipticity. For stating L^p and Holder estimates, we talk about homogeneous distributions. In the second part we start working with a manifold M of real dimension 2n+1. We say that M is a CR manifold if some properties are satisfied. More, we say that a CR manifold M is strongly pseudoconvex if the Levi form defined on M is positive defined. Since we will show that the Heisenberg group is a model for the strongly pseudo-convex CR manifolds, we look for an osculating Heisenberg structure in a neighborhood of a point in M, and we want this structure to change smoothly from a point to another. For that, we define Normal Coordinates and we study their properties. We also examinate different Normal Coordinates in the case of a real hypersurface with an induced CR structure. Finally, we define again the CR complex, its adjoint and the Laplacian operator on M. We study these new operators showing subelliptic estimates. For that, we don't need M to be pseudo-complex but we ask less, that is, the Z(q) and the Y(q) conditions. This provides local regularity theorems for Laplacian and show its hypoellipticity on M.

Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea

In questa tesi vengono forniti risultati sulle serie di Fourier e successivamente sulle serie di Fejér, utili per poter analizzare il cosiddetto problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea. Lo scopo è trovare soluzioni classiche del problema che presenta come dato iniziale dapprima una funzione di classe C^1 e successivamente una funzione solamente continua.

Un modello di percezione del colore, espresso da un problema di Cauchy in spazi di Banach

Scopo della tesi è studiare un modello di percezione cromatica, che descrive la propagazione dell'attività mediante un problema di Cauchy in spazi di Banach. Presentiamo dapprima il problema della stabilità delle soluzioni al problema di Cauchy tramite il metodo Lyapunov; prima in dimensione finita, e poi in spazi di Banach. Poi verifichiamo che l'equazione fondamentale di percezione cromatica ricade nel setting considerato e che il funzionale di Lyapunov associato verifica le ipotesi che assicurano la stabilità.

On the experimental behaviour of a silty sand and its modelling through Generalized Plasticity.

La tesi contiene uno studio sperimentale sul comportamento di una sabbia limosa del sottosuolo della laguna veneta e propone un'interpretazione dei risultati sperimentali ottenuti alla luce dei presupposti teorici di un approccio costitutivo avanzato noto come "Plasticità Generalizzata". Il programma sperimentale è consistito nella realizzazione di prove edometriche e prove triassiali su campioni di sabbia provenienti dal sito di Treporti, situato in prossimità della bocca di Lido. La risposta sperimentale, in termini di modulo volumetrico, è stata messa a confronto con i risultati di alcuni studi di letteratura, con particolare riferimento a quelli condotti da Jefferies & Been (2000). La disponibilità di prove di compressione edometrica realizzate nella cella K0 e la conseguente possibilità di valutare il coefficiente di spinta a riposo ha permesso di interpretare le prove in termini di tensione media efficace p' e di verificare l'applicabilità al caso in esame degli approcci di letteratura disponibili, spesso sviluppati a partire da prove di compressione isotropa effettuate in cella triassiale. Il comportamento tenso-deformativo osservato è stato successivamente simulato con un modello costitutivo per sabbie sviluppato nell'ambito della Plasticità Generalizzata. In particolare sono state utilizzate tre diverse formulazioni, che costituiscono un avanzamento dell'iniziale modello costitutivo proposto da Pastor, Zienkiewicz e Chan (1990), basate sull'uso di un parametro di stato del materiale definito rispetto alle condizioni di Stato Critico. Dal confronto tra previsioni del modello e risposta sperimentale è stato possibile individuare la formulazione che meglio simula il comportamento meccanico osservato sia in compressione edometrica sia in prove di taglio ed è stato proposto un set di parametri costitutivi ritenuti rappresentativi del terreno studiato.

Alternative derivative expansion in Functional RG and application

We give a brief review of the Functional Renormalization method in quantum field theory, which is intrinsically non perturbative, in terms of both the Polchinski equation for the Wilsonian action and the Wetterich equation for the generator of the proper verteces. For the latter case we show a simple application for a theory with one real scalar field within the LPA and LPA' approximations. For the first case, instead, we give a covariant "Hamiltonian" version of the Polchinski equation which consists in doing a Legendre transform of the flow for the corresponding effective Lagrangian replacing arbitrary high order derivative of fields with momenta fields. This approach is suitable for studying new truncations in the derivative expansion. We apply this formulation for a theory with one real scalar field and, as a novel result, derive the flow equations for a theory with N real scalar fields with the O(N) internal symmetry. Within this new approach we analyze numerically the scaling solutions for N=1 in d=3 (critical Ising model), at the leading order in the derivative expansion with an infinite number of couplings, encoded in two functions V(phi) and Z(phi), obtaining an estimate for the quantum anomalous dimension with a 10% accuracy (confronting with Monte Carlo results).