The Feynman-Kac formula and applications to PDEs

The thesis presents a probabilistic approach to the theory of semigroups of operators, with particular attention to the Markov and Feller semigroups. The first goal of this work is the proof of the fundamental Feynman-Kac formula, which gives the solution of certain parabolic Cauchy problems, in terms of the expected value of the initial condition computed at the associated stochastic diffusion processes. The second target is the characterization of the principal eigenvalue of the generator of a semigroup with Markov transition probability function and of second order elliptic operators with real coefficients not necessarily self-adjoint. The thesis is divided into three chapters. In the first chapter we study the Brownian motion and some of its main properties, the stochastic processes, the stochastic integral and the Itô formula in order to finally arrive, in the last section, at the proof of the Feynman-Kac formula. The second chapter is devoted to the probabilistic approach to the semigroups theory and it is here that we introduce Markov and Feller semigroups. Special emphasis is given to the Feller semigroup associated with the Brownian motion. The third and last chapter is divided into two sections. In the first one we present the abstract characterization of the principal eigenvalue of the infinitesimal generator of a semigroup of operators acting on continuous functions over a compact metric space. In the second section this approach is used to study the principal eigenvalue of elliptic partial differential operators with real coefficients. At the end, in the appendix, we gather some of the technical results used in the thesis in more details. Appendix A is devoted to the Sion minimax theorem, while in appendix B we prove the Chernoff product formula for not necessarily self-adjoint operators.

Equazioni differenziali stocastiche backward

Questo elaborato si pone come obiettivo l’introduzione e lo studio di due strumenti estremamente interessanti in Analisi Stocastica per le loro applicazioni nell’ambito del controllo ottimo stocastico e, soprattutto (per i fini di questo lavoro), della finanza matematica: le equazioni differenziali stocastiche backward (BSDEs) e le equazioni differenziali stocastiche forward-backward (FBSDEs). Innanzitutto, la trattazione verterà sull’analisi delle BSDEs. Partendo dal caso lineare, perfettamente esplicativo dei problemi di adattabilità che si riscontrano nella definizione di soluzione, si passerà allo studio delle BSDEs non lineari con coefficienti Lipschitziani, giungendo, in entrambe le situazioni, alla prova di risultati di esistenza e unicità della soluzione. Tale analisi sarà completata con un’indagine sulle relazioni che persistono con le PDEs, che porterà all’introduzione di una generalizzazione della formula di Feynman-Kac e si concluderà, dopo aver introdotto le FBSDEs, con la definizione di un metodo risolutivo per queste ultime, noto come Schema a quattro fasi. Tali strumenti troveranno applicazione nel quinto e ultimo capitolo come modelli teorici alla base della Formula di Black-Scholes per problemi di prezzatura e copertura di opzioni.

Jarrow-Yildirim model for inflation: theory and applications

This thesis deals with inflation theory, focussing on the model of Jarrow & Yildirim, which is nowadays used when pricing inflation derivatives. After recalling main results about short and forward interest rate models, the dynamics of the main components of the market are derived. Then the most important inflation-indexed derivatives are explained (zero coupon swap, year-on-year, cap and floor), and their pricing proceeding is shown step by step. Calibration is explained and performed with a common method and an heuristic and non standard one. The model is enriched with credit risk, too, which allows to take into account the possibility of bankrupt of the counterparty of a contract. In this context, the general method of pricing is derived, with the introduction of defaultable zero-coupon bonds, and the Monte Carlo method is treated in detailed and used to price a concrete example of contract. Appendixes: A: martingale measures, Girsanov's theorem and the change of numeraire. B: some aspects of the theory of Stochastic Differential Equations; in particular, the solution for linear EDSs, and the Feynman-Kac Theorem, which shows the connection between EDSs and Partial Differential Equations. C: some useful results about normal distribution.

Progetto e Costruzione del Telaio di Vettura Formula SAE: Parte Anteriore

Nel presente elaborato viene riassunta in 4 brevi capitoli la mia attività di tesi, svolta nell’ambito del progetto Formula SAE® dell’Università di Bologna nell’anno 2010. Il progetto ha consistito nella realizzazione di una vettura monoposto, con l’obiettivo di far competere la stessa negli eventi previsti dalla SAE® (Society of Automotive Engineer), insieme alle vetture progettate e costruite da altri atenei di tutto il mondo. In tali eventi, una serie di giudici del settore auto-motive valuta la bontà del progetto, ovvero della vettura, che sarà sottoposta ad una serie di prove statiche e dinamiche. Nella seguente trattazione si narra quindi il percorso progettuale e di realizzazione del telaio della vettura, ovvero della sua struttura portante principale. Il progetto infatti, nell’ambito del team UniBo Motorsport, mi ha visto impegnato come “Responsabile Telaio” oltre che come “Responsabile in Pista” durante le prove su strada della vettura, svolte a valle della realizzazione. L’obbiettivo principale di un telaio di vettura da corsa è quello di realizzare una struttura che colleghi rigidamente tra loro i gruppi sospensivi anteriore e posteriore e che preveda anche la possibilità di ancorare tutti i componenti dei sistemi ausiliari di cui la vettura deve essere equipaggiata. Esistono varie tipologie di telai per autovettura ma quelle più adatte ad equipaggiare una vettura da competizione di tipo Formula, sono sicuramente il traliccio in tubi (“space frame”) e la monoscocca in fibra di carbonio. Il primo è sicuramente quello più diffuso nell’ambito della Formula Student grazie alla sua maggior semplicità progettuale e realizzativa ed ai minor investimenti economici che richiede. I parametri fondamentali che caratterizzano un telaio vettura da competizione sono sicuramente la massa e la rigidezza. La massa dello chassis deve essere ovviamente il più bassa possibile in quanto quest, costituisce generalmente il terzo contributo più importante dopo pilota e motore alla massa complessiva del veicolo. Quest’ultimo deve essere il più leggero possibile per avere un guidabilità ed una performance migliori nelle prove dinamiche in cui dovrà impegnarsi. Per quanto riguarda la rigidezza di un telaio, essa può essere distinta in rigidezza flessionale e rigidezza torsionale: di fatto però, solo la rigidezza torsionale va ad influire sui carichi che si trasferiscono agli pneumatici della vettura, pertanto quando si parla di rigidezza di un telaio, ci si riferisce alla sua capacità di sopportare carichi di tipo torsionale. Stabilire a priori un valore adeguato per la rigidezza torsionale di un telaio è impossibile. Tale valore dipende infatti dal tipo di vettura e dal suo impiego. In una vettura di tipo Formula quale quella oggetto del progetto, la rigidezza torsionale del telaio deve essere tale da garantire un corretto lavoro delle sospensioni: gli unici cedimenti elastici causati dalle sollecitazioni dinamiche della vettura devono essere quelli dovuti agli elementi sospensivi (ammortizzatori). In base a questo, come indicazione di massima, si può dire che un valore di rigidezza adeguato per un telaio deve essere un multiplo della rigidezza totale a rollio delle sospensioni. Essendo questo per l’Università di Bologna il primo progetto nell’ambito della Formula SAE® e non avendo quindi a disposizione nessun feed-back da studi o vetture di anni precedenti, per collocare in modo adeguato il pilota all’interno della vettura, in ottemperanza anche con i requisiti di sicurezza dettati dal regolamento, si è deciso insieme all’esperto di ergonomia del team di realizzare una maquette fisica in scala reale dell’abitacolo. Questo ha portato all’individuazione della corretta posizione del pilota e al corretto collocamento dei comandi, con l’obbiettivo di massimizzare la visibilità ed il confort di guida della vettura. Con questo primo studio quindi è stata intrapresa la fase progettuale vera e propria del telaio, la quale si è svolta in modo parallelo ma trasversale a quella di tutti gli altri sistemi principali ed ausiliari di cui è equipaggiata la vettura. In questa fase fortemente iterativa si vanno a cercare non le soluzioni migliori ma quelle “meno peggio”: la coperta è sempre troppo corta e il compromesso la fa da padrone. Terminata questa fase si è passati a quella realizzativa che ha avuto luogo presso l’azienda modenese Marchesi & C. che fin dal 1965 si è occupata della realizzazione di telai da corsa per importanti aziende del settore automobilistico. Grazie al preziosissimo supporto dell’azienda, a valle della realizzazione, è stato possibile condurre una prova di rigidezza sul telaio completo della vettura. Questa, oltre a fornire il valore di rigidezza dello chassis, ha permesso di identificare le sezioni della struttura più cedevoli, fornendo una valida base di partenza per l’ottimizzazione di telai per vetture future. La vettura del team UniBo Motorsport ha visto il suo esordio nell’evento italiano della Formula SAE® tenutosi nel circuito di Varano de Melegari nella prima settimana di settembre, chiudendo con un ottimo 16esimo posto su un totale di 55 partecipanti. Il team ha partecipato inoltre alla Formula Student Spain tenutasi sul famoso circuito di Montmelò alla fine dello stesso mese, raggiungendo addirittura il podio con il secondo posto tra i 18 partecipanti. La stagione si chiude quindi con due soli eventi all’attivo della vettura, ma con un notevole esordio ed un ottimo secondo posto assoluto. L’ateneo di Bologna si inserisce al sessantasettesimo posto nella classifica mondiale, come seconda università italiana.

Substructuring approache in state space models for dynamic system parameters identification

In the recent decade, the request for structural health monitoring expertise increased exponentially in the United States. The aging issues that most of the transportation structures are experiencing can put in serious jeopardy the economic system of a region as well as of a country. At the same time, the monitoring of structures is a central topic of discussion in Europe, where the preservation of historical buildings has been addressed over the last four centuries. More recently, various concerns arose about security performance of civil structures after tragic events such the 9/11 or the 2011 Japan earthquake: engineers looks for a design able to resist exceptional loadings due to earthquakes, hurricanes and terrorist attacks. After events of such a kind, the assessment of the remaining life of the structure is at least as important as the initial performance design. Consequently, it appears very clear that the introduction of reliable and accessible damage assessment techniques is crucial for the localization of issues and for a correct and immediate rehabilitation. The System Identification is a branch of the more general Control Theory. In Civil Engineering, this field addresses the techniques needed to find mechanical characteristics as the stiffness or the mass starting from the signals captured by sensors. The objective of the Dynamic Structural Identification (DSI) is to define, starting from experimental measurements, the modal fundamental parameters of a generic structure in order to characterize, via a mathematical model, the dynamic behavior. The knowledge of these parameters is helpful in the Model Updating procedure, that permits to define corrected theoretical models through experimental validation. The main aim of this technique is to minimize the differences between the theoretical model results and in situ measurements of dynamic data. Therefore, the new model becomes a very effective control practice when it comes to rehabilitation of structures or damage assessment. The instrumentation of a whole structure is an unfeasible procedure sometimes because of the high cost involved or, sometimes, because it’s not possible to physically reach each point of the structure. Therefore, numerous scholars have been trying to address this problem. In general two are the main involved methods. Since the limited number of sensors, in a first case, it’s possible to gather time histories only for some locations, then to move the instruments to another location and replay the procedure. Otherwise, if the number of sensors is enough and the structure does not present a complicate geometry, it’s usually sufficient to detect only the principal first modes. This two problems are well presented in the works of Balsamo [1] for the application to a simple system and Jun [2] for the analysis of system with a limited number of sensors. Once the system identification has been carried, it is possible to access the actual system characteristics. A frequent practice is to create an updated FEM model and assess whether the structure fulfills or not the requested functions. Once again the objective of this work is to present a general methodology to analyze big structure using a limited number of instrumentation and at the same time, obtaining the most information about an identified structure without recalling methodologies of difficult interpretation. A general framework of the state space identification procedure via OKID/ERA algorithm is developed and implemented in Matlab. Then, some simple examples are proposed to highlight the principal characteristics and advantage of this methodology. A new algebraic manipulation for a prolific use of substructuring results is developed and implemented.

Il gruppo delle trecce ed il teorema di Markov

Il lavoro concerne il gruppo delle trecce, il suo legame con i link e si concentra sui teoremi di Markov e Alexander.

Progettazione di mozzi ruota per vettura da formula SAE

Progettazione dei mozzi ruota della vettura 2012 del team UniBo Motorsport, il team di formula SAE dell'università di Bologna.

Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.