Monoidal categories for the physics of integrable models

Scopo di questa tesi é di evidenziare le connessioni tra le categorie monoidali, l'equazione di Yang-Baxter e l’integrabilità di alcuni modelli. Oggetto prinacipale del nostro lavoro é stato il monoide di Frobenius e come sia connesso alle C∗-algebre. In questo contesto la totalità delle dimostrazioni sfruttano la strumentazione dell'algebra diagrammatica. Nel corso del lavoro di tesi sono state riprodotte tali dimostrazioni tramite il più familiare linguaggio dell’algebra multilineare allo scopo di rendere più fruibili questi risultati ad un raggio più ampio di potenziali lettori.

Edge states and zero modes in quadratic fermionic models on a 1-D lattice

In una formulazione rigorosa della teoria quantistica, la definizione della varietà Riemanniana spaziale su cui il sistema è vincolato gioca un ruolo fondamentale. La presenza di un bordo sottolinea l'aspetto quantistico del sistema: l'imposizione di condizioni al contorno determina la discretizzazione degli autovalori del Laplaciano, come accade con condizioni note quali quelle periodiche, di Neumann o di Dirichlet. Tuttavia, non sono le uniche possibili. Qualsiasi condizione al bordo che garantisca l'autoaggiunzione dell' operatore Hamiltoniano è ammissibile. Tutte le possibili boundary conditions possono essere catalogate a partire dalla richiesta di conservazione del flusso al bordo della varietà. Alcune possibili condizioni al contorno, permettono l'esistenza di stati legati al bordo, cioè autostati dell' Hamiltoniana con autovalori negativi, detti edge states. Lo scopo di questa tesi è quello di investigare gli effetti di bordo in sistemi unidimensionali implementati su un reticolo discreto, nella prospettiva di capire come simulare proprietà di edge in un reticolo ottico. Il primo caso considerato è un sistema di elettroni liberi. La presenza di edge states è completamente determinata dai parametri di bordo del Laplaciano discreto. Al massimo due edge states emergono, e possono essere legati all' estremità destra o sinistra della catena a seconda delle condizioni al contorno. Anche il modo in cui decadono dal bordo al bulk e completamente determinato dalla scelta delle condizioni. Ammettendo un' interazione quadratica tra siti primi vicini, un secondo tipo di stati emerge in relazione sia alle condizioni al contorno che ai parametri del bulk. Questi stati sono chiamati zero modes, in quanto esiste la possibilità che siano degeneri con lo stato fondamentale. Per implementare le più generali condizioni al contorno, specialmente nel caso interagente, è necessario utilizzare un metodo generale per la diagonalizzazione, che estende la tecnica di Lieb-Shultz-Mattis per Hamiltoniane quadratiche a matrici complesse.

Localization and mobility-edges in non-interacting fermionic models with disorder

Nel corso degli ultimi decenni la fisica sperimentale ha raggiunto notevoli traguardi nel campo della manipolazione di sistemi di atomi freddi, riaccendendo l'interesse della ricerca su sistemi a lungo studiati teoricamente, ma fino a poco tempo fa impossibili da realizzare sperimentalmente. Questa riaccesa attenzione ha permesso di sfruttare le moderne capacità di calcolo per studiare sistemi quantistici che ancora risultano di difficile realizzazione. In questo contesto si inserisce il rinnovato interesse per i sistemi quantistici monodimensionali caratterizzati dalla presenza di potenziale disordinato. Questi presentano proprietà di trasporto particolari e sotto particolari condizioni sono oggetto di una transizione di localizzazione. La maggior parte degli studi in questo campo rivolgono la loro attenzione a sistemi di particelle fermioniche interagenti. In questo lavoro di tesi analizziamo, invece, sistemi quantistici fermionici non interagenti, mettendo in luce quanto già noto e proponendo strumenti di analisi derivati dallo studio dei sistemi interagenti. In particolare, proponiamo un'analisi statistica dei livelli energetici e poniamo le basi per futuri studi a riguardo.