Le matrici e la loro algebra

In questa tesi ci si propone lo studio dell'anello delle matrici quadrate di ordine n, su un campo, per arrivare a dimostrare che ha solo ideali banali pur non essendo un campo. Allo scopo si introducono le operazioni elementari e il procedimento di traduzione di tali operazioni con opportune moltiplicazioni per matrici dette elementari. Si considera inoltre il gruppo generale lineare arrivando a dimostrare che un particolare sottoinsieme delle matrici elementari è un generatore di tale gruppo.

Segmentazione di immagini mammografiche con convolutional neural networks

Il tumore al seno si colloca al primo posto per livello di mortalità tra le patologie tumorali che colpiscono la popolazione femminile mondiale. Diversi studi clinici hanno dimostrato come la diagnosi da parte del radiologo possa essere aiutata e migliorata dai sistemi di Computer Aided Detection (CAD). A causa della grande variabilità di forma e dimensioni delle masse tumorali e della somiglianza di queste con i tessuti che le ospitano, la loro ricerca automatizzata è un problema estremamente complicato. Un sistema di CAD è generalmente composto da due livelli di classificazione: la detection, responsabile dell’individuazione delle regioni sospette presenti sul mammogramma (ROI) e quindi dell’eliminazione preventiva delle zone non a rischio; la classificazione vera e propria (classification) delle ROI in masse e tessuto sano. Lo scopo principale di questa tesi è lo studio di nuove metodologie di detection che possano migliorare le prestazioni ottenute con le tecniche tradizionali. Si considera la detection come un problema di apprendimento supervisionato e lo si affronta mediante le Convolutional Neural Networks (CNN), un algoritmo appartenente al deep learning, nuova branca del machine learning. Le CNN si ispirano alle scoperte di Hubel e Wiesel riguardanti due tipi base di cellule identificate nella corteccia visiva dei gatti: le cellule semplici (S), che rispondono a stimoli simili ai bordi, e le cellule complesse (C) che sono localmente invarianti all’esatta posizione dello stimolo. In analogia con la corteccia visiva, le CNN utilizzano un’architettura profonda caratterizzata da strati che eseguono sulle immagini, alternativamente, operazioni di convoluzione e subsampling. Le CNN, che hanno un input bidimensionale, vengono solitamente usate per problemi di classificazione e riconoscimento automatico di immagini quali oggetti, facce e loghi o per l’analisi di documenti.

Algebra esterna e grassmanniane

Nella tesi viene fornita una costruzione dell'algebra esterna di un K-spazio vettoriale, alcune conseguenze principali come la derivazione in maniera traspente del determinante di e alcune sue proprietà e l'introduzione del concetto di Grassmanniana.

Deep learning for computer vision: a comparison between convolutional neural networks and hierarchical temporal memories on object recognition tasks

In recent years, Deep Learning techniques have shown to perform well on a large variety of problems both in Computer Vision and Natural Language Processing, reaching and often surpassing the state of the art on many tasks. The rise of deep learning is also revolutionizing the entire field of Machine Learning and Pattern Recognition pushing forward the concepts of automatic feature extraction and unsupervised learning in general. However, despite the strong success both in science and business, deep learning has its own limitations. It is often questioned if such techniques are only some kind of brute-force statistical approaches and if they can only work in the context of High Performance Computing with tons of data. Another important question is whether they are really biologically inspired, as claimed in certain cases, and if they can scale well in terms of "intelligence". The dissertation is focused on trying to answer these key questions in the context of Computer Vision and, in particular, Object Recognition, a task that has been heavily revolutionized by recent advances in the field. Practically speaking, these answers are based on an exhaustive comparison between two, very different, deep learning techniques on the aforementioned task: Convolutional Neural Network (CNN) and Hierarchical Temporal memory (HTM). They stand for two different approaches and points of view within the big hat of deep learning and are the best choices to understand and point out strengths and weaknesses of each of them. CNN is considered one of the most classic and powerful supervised methods used today in machine learning and pattern recognition, especially in object recognition. CNNs are well received and accepted by the scientific community and are already deployed in large corporation like Google and Facebook for solving face recognition and image auto-tagging problems. HTM, on the other hand, is known as a new emerging paradigm and a new meanly-unsupervised method, that is more biologically inspired. It tries to gain more insights from the computational neuroscience community in order to incorporate concepts like time, context and attention during the learning process which are typical of the human brain. In the end, the thesis is supposed to prove that in certain cases, with a lower quantity of data, HTM can outperform CNN.

Il polinomio strutturale di un'algebra monounaria

Questa tesi descrive alcune proprietà delle algebre monounarie finite e si propone di trovare un metodo per classificarle. Poiché infatti il numero di algebre di ordine n aumenta notevolmente con la crescita di quest’ultimo, si cerca un modo per suddividerle in classi d’isomorfismo. In particolare, dal momento che anche il numero di queste classi cresce esponenzialmente all’aumentare di n, utilizziamo una classificazione meno fine dell’isomorfismo basata sul polinomio strutturale. Grazie a questo strumento infatti è possibile risalire a famiglie di grafi orientati associati ad algebre monounarie, a due a due non isomorfi, ricavando perciò alcune specifiche caratteristiche di quest’ultime. Infine, calcolando l’ordine di gruppi particolari, detti automorfi, si può ottenere l’effettivo numero di algebre aventi un dato polinomio strutturale.

Exact Combinatorial Optimization with Graph Convolutional Neural Networks

Combinatorial optimization problems are typically tackled by the branch-and-bound paradigm. We propose to learn a variable selection policy for branch-and-bound in mixed-integer linear programming, by imitation learning on a diversified variant of the strong branching expert rule. We encode states as bipartite graphs and parameterize the policy as a graph convolutional neural network. Experiments on a series of synthetic problems demonstrate that our approach produces policies that can improve upon expert-designed branching rules on large problems, and generalize to instances significantly larger than seen during training.

Predicting corticospinal excitability from pre-TMS EEG using convolutional neural networks

The amplitude of motor evoked potentials (MEPs) elicited by transcranial magnetic stimulation (TMS) of the primary motor cortex (M1) shows a large variability from trial to trial, although MEPs are evoked by the same repeated stimulus. A multitude of factors is believed to influence MEP amplitudes, such as cortical, spinal and motor excitability state. The goal of this work is to explore to which degree the variation in MEP amplitudes can be explained by the cortical state right before the stimulation. Specifically, we analyzed a dataset acquired on eleven healthy subjects comprising, for each subject, 840 single TMS pulses applied to the left M1 during acquisition of electroencephalography (EEG) and electromyography (EMG). An interpretable convolutional neural network, named SincEEGNet, was utilized to discriminate between low- and high-corticospinal excitability trials, defined according to the MEP amplitude, using in input the pre-TMS EEG. This data-driven approach enabled considering multiple brain locations and frequency bands without any a priori selection. Post-hoc interpretation techniques were adopted to enhance interpretation by identifying the more relevant EEG features for the classification. Results show that individualized classifiers successfully discriminated between low and high M1 excitability states in all participants. Outcomes of the interpretation methods suggest the importance of the electrodes situated over the TMS stimulation site, as well as the relevance of the temporal samples of the input EEG closer to the stimulation time. This novel decoding method allows causal investigation of the cortical excitability state, which may be relevant for personalizing and increasing the efficacy of therapeutic brain-state dependent brain stimulation (for example in patients affected by Parkinson’s disease).

Convolutional Neural Network Architectures for Template Matching

The Neural Networks customized and tested in this thesis (WaldoNet, FlowNet and PatchNet) are a first exploration and approach to the Template Matching task. The possibilities of extension are therefore many and some are proposed below. During my thesis, I have analyzed the functioning of the classical algorithms and adapted with deep learning algorithms. The features extracted from both the template and the query images resemble the keypoints of the SIFT algorithm. Then, instead of similarity function or keypoints matching, WaldoNet and PatchNet use the convolutional layer to compare the features, while FlowNet uses the correlational layer. In addition, I have identified the major challenges of the Template Matching task (affine/non-affine transformations, intensity changes...) and solved them with a careful design of the dataset.

Modified gravity with tensor computer algebra: a case study

Il modello ΛCDM è il modello cosmologico più semplice, ma finora più efficace, per descrivere l'evoluzione dell'universo. Esso si basa sulla teoria della Relatività Generale di Einstein e fornisce una spiegazione dell'espansione accelerata dell'universo introducendo la costante cosmologica Λ, che rappresenta il contributo della cosiddetta energia oscura, un'entità di cui ben poco si sa con certezza. Sono stati tuttavia proposti modelli teorici alternativi che descrivono gli effetti di questa quantità misteriosa, introducendo ad esempio gradi di libertà aggiuntivi, come nella teoria di Horndeski. L'obiettivo principale di questa testi è quello di studiare questi modelli tramite il tensor computer algebra xAct. In particolare, il nostro scopo sarà quello di implementare una procedura universale che permette di derivare, a partire dall'azione, le equazioni del moto e l'evoluzione temporale di qualunque modello generico.

Machine learning and convolutional neural networks for melanomas identification

Il machine learning negli ultimi anni ha acquisito una crescente popolarità nell’ambito della ricerca scientifica e delle sue applicazioni. Lo scopo di questa tesi è stato quello di studiare il machine learning nei suoi aspetti generali e applicarlo a problemi di computer vision. La tesi ha affrontato le difficoltà del dover spiegare dal punto di vista teorico gli algoritmi alla base delle reti neurali convoluzionali e ha successivamente trattato due problemi concreti di riconoscimento immagini: il dataset MNIST (immagini di cifre scritte a mano) e un dataset che sarà chiamato ”MELANOMA dataset” (immagini di melanomi e nevi sani). Utilizzando le tecniche spiegate nella sezione teorica si sono riusciti ad ottenere risultati soddifacenti per entrambi i dataset ottenendo una precisione del 98% per il MNIST e del 76.8% per il MELANOMA dataset