Statistical Mechanics of Monomer-Dimer Models on Complete and Erdös-Rényi Graphs

Nella tesi sono trattate due famiglie di modelli meccanico statistici su vari grafi: i modelli di spin ferromagnetici (o di Ising) e i modelli di monomero-dimero. Il primo capitolo è dedicato principalmente allo studio del lavoro di Dembo e Montanari, in cui viene risolto il modello di Ising su grafi aleatori. Nel secondo capitolo vengono studiati i modelli di monomero-dimero, a partire dal lavoro di Heilemann e Lieb,con l'intento di dare contributi nuovi alla teoria. I principali temi trattati sono disuguaglianze di correlazione, soluzioni esatte su alcuni grafi ad albero e sul grafo completo, la concentrazione dell'energia libera intorno al proprio valor medio sul grafo aleatorio diluito di Erdös-Rényi.

Laplace operator on finite graphs and a network diffusion model for the progression of the Alzheimer disease

Nella tesi viene descritto il Network Diffusion Model, ovvero il modello di A. Ray, A. Kuceyeski, M. Weiner inerente i meccanismi di progressione della demenza senile. In tale modello si approssima l'encefalo sano con una rete cerebrale (ovvero un grafo pesato), si identifica un generale fattore di malattia e se ne analizza la propagazione che avviene secondo meccanismi analoghi a quelli di un'infezione da prioni. La progressione del fattore di malattia e le conseguenze macroscopiche di tale processo(tra cui principalmente l'atrofia corticale) vengono, poi, descritte mediante approccio matematico. I risultati teoretici vengono confrontati con quanto osservato sperimentalmente in pazienti affetti da demenza senile. Nella tesi, inoltre, si fornisce una panoramica sui recenti studi inerenti i processi neurodegenerativi e si costruisce il contesto matematico di riferimento del modello preso in esame. Si presenta una panoramica sui grafi finiti, si introduce l'operatore di Laplace sui grafi e si forniscono stime dall'alto e dal basso per gli autovalori. Al fine di costruire una cornice matematica completa si analizza la relazione tra caso discreto e continuo: viene descritto l'operatore di Laplace-Beltrami sulle varietà riemanniane compatte e vengono fornite stime dall'alto per gli autovalori dell'operatore di Laplace-Beltrami associato a tali varietà a partire dalle stime dall'alto per gli autovalori del laplaciano sui grafi finiti.

Simplicial Complexes From Graphs Toward Graph Persistence

Persistent homology is a branch of computational topology which uses geometry and topology for shape description and analysis. This dissertation is an introductory study to link persistent homology and graph theory, the connection being represented by various methods to build simplicial complexes from a graph. The methods we consider are the complex of cliques, of independent sets, of neighbours, of enclaveless sets and complexes from acyclic subgraphs, each revealing several properties of the underlying graph. Moreover, we apply the core ideas of persistence theory in the new context of graph theory, we define the persistent block number and the persistent edge-block number.

Edge-aware Graph Attention Networks: Joint Reasoning On Text and Knowledge Graphs for Biomedical Question Answering

Much of the real-world dataset, including textual data, can be represented using graph structures. The use of graphs to represent textual data has many advantages, mainly related to maintaining a more significant amount of information, such as the relationships between words and their types. In recent years, many neural network architectures have been proposed to deal with tasks on graphs. Many of them consider only node features, ignoring or not giving the proper relevance to relationships between them. However, in many node classification tasks, they play a fundamental role. This thesis aims to analyze the main GNNs, evaluate their advantages and disadvantages, propose an innovative solution considered as an extension of GAT, and apply them to a case study in the biomedical field. We propose the reference GNNs, implemented with methodologies later analyzed, and then applied to a question answering system in the biomedical field as a replacement for the pre-existing GNN. We attempt to obtain better results by using models that can accept as input both node and edge features. As shown later, our proposed models can beat the original solution and define the state-of-the-art for the task under analysis.

Quantum Riemannian geometry on graphs for gauge field theory

In questo lavoro estendiamo concetti classici della geometria Riemanniana al fine di risolvere le equazioni di Maxwell sul gruppo delle permutazioni $S_3$. Cominciamo dando la strutture algebriche di base e la definizione di calcolo differenziale quantico con le principali proprietà. Generalizziamo poi concetti della geometria Riemanniana, quali la metrica e l'algebra esterna, al caso quantico. Tutto ciò viene poi applicato ai grafi dando la forma esplicita del calcolo differenziale quantico su $\mathbb{K}(V)$, della metrica e Laplaciano del secondo ordine e infine dell'algebra esterna. A questo punto, riscriviamo le equazioni di Maxwell in forma geometrica compatta usando gli operatori e concetti della geometria differenziale su varietà che abbiamo generalizzato in precedenza. In questo modo, considerando l'elettromagnetismo come teoria di gauge, possiamo risolvere le equazioni di Maxwell su gruppi finiti oltre che su varietà differenziabili. In particolare, noi le risolviamo su $S_3$.

Bio-QA-GNN: Reasoning with Language Models and Knowledge Graphs for Interpretable Biomedical Question Answering

Nowadays the idea of injecting world or domain-specific structured knowledge into pre-trained language models (PLMs) is becoming an increasingly popular approach for solving problems such as biases, hallucinations, huge architectural sizes, and explainability lack—critical for real-world natural language processing applications in sensitive fields like bioinformatics. One recent work that has garnered much attention in Neuro-symbolic AI is QA-GNN, an end-to-end model for multiple-choice open-domain question answering (MCOQA) tasks via interpretable text-graph reasoning. Unlike previous publications, QA-GNN mutually informs PLMs and graph neural networks (GNNs) on top of relevant facts retrieved from knowledge graphs (KGs). However, taking a more holistic view, existing PLM+KG contributions mainly consider commonsense benchmarks and ignore or shallowly analyze performances on biomedical datasets. This thesis start from a propose of a deep investigation of QA-GNN for biomedicine, comparing existing or brand-new PLMs, KGs, edge-aware GNNs, preprocessing techniques, and initialization strategies. By combining the insights emerged in DISI's research, we introduce Bio-QA-GNN that include a KG. Working with this part has led to an improvement in state-of-the-art of MCOQA model on biomedical/clinical text, largely outperforming the original one (+3.63\% accuracy on MedQA). Our findings also contribute to a better understanding of the explanation degree allowed by joint text-graph reasoning architectures and their effectiveness on different medical subjects and reasoning types. Codes, models, datasets, and demos to reproduce the results are freely available at: \url{https://github.com/disi-unibo-nlp/bio-qagnn}.