Absolute Hodge cycles and Deligne's principle b

I cicli di Hodge assoluti sono stati utilizzati da Deligne per dividere la congettura di Hodge in due sotto-congetture. La prima dice che tutte le classi di Hodge su una varietà complessa proiettiva liscia sono assolute, la seconda che le classi assolute sono algebriche. Deligne ha dato risposta affermativa alla prima sottocongettura nel caso delle varietà abeliane. La dimostrazione si basa su due teoremi, conosciuti rispettivamente come Principio A e Principio B. In questo lavoro vengono presentate la teoria delle classi di Hodge assolute e la dimostrazione del Principio B.

Moduli stabilisation and soft supersymmetry breaking in string compactifications

In this thesis, we shall work in the framework of type IIB Calabi-Yau flux compactifications and present a detailed review of moduli stabilisation studying in particular the phenomenological implications of the LARGE-volume scenario (LVS). All the physical relevant quantities such as moduli masses and soft-terms, are computed and compared to the phenomenological constraints that today guide the research. The structure of this thesis is the following. The first chapter introduces the reader to the fundamental concepts that are essentially supersymmetry-breaking, supergravity and string moduli, which represent the basic framework of our discussion. In the second chapter we focus our attention on the subject of moduli stabilisation. Starting from the structure of the supergravity scalar potential, we point out the main features of moduli dynamics, we analyse the KKLT and LARGE-volume scenario and we compute moduli masses and couplings to photons which play an important role in the early-universe evolution since they are strictly related to the decay rate of moduli particles. The third chapter is then dedicated to the calculation of soft-terms, which arise dynamically from gravitational interactions when moduli acquire a non-zero vacuum expectation value (VeV). In the last chapter, finally, we summarize and discuss our results, underling their phenomenological aspects. Moreover, in the last section we analyse the implications of the outcomes for standard cosmology, with particular interest in the cosmological moduli problem.

Equazioni stocastiche lineari e disuguaglianza di Harnack

In questo elaborato si presentano alcuni risultati relativi alle equazioni differenziali stocastiche (SDE) lineari. La soluzione di un'equazione differenziale stocastica lineare è un processo stocastico con distribuzione multinormale in generale degenere. Al contrario, nel caso in cui la matrice di covarianza è definita positiva, la soluzione ha densità gaussiana Γ. La Γ è inoltre la soluzione fondamentale dell'operatore di Kolmogorov associato alla SDE. Nel primo capitolo vengono presentate alcune condizioni necessarie e sufficienti che assicurano che la matrice di covarianza sia definita positiva nel caso, più semplice, in cui i coefficienti della SDE sono costanti, e nel caso in cui questi sono dipendenti dal tempo. A questo scopo gioca un ruolo fondamentale la teoria del controllo. In particolare la condizione di Kalman fornisce un criterio operativo per controllare se la matrice di covarianza è definita positiva. Nel secondo capitolo viene presentata una dimostrazione diretta della disuguaglianza di Harnack utilizzando una stima del gradiente dovuta a Li e Yau. Le disuguaglianze di Harnack sono strumenti fondamentali nella teoria delle equazioni differenziali a derivate parziali. Nel terzo capitolo viene proposto un esempio di applicazione della disuguaglianza di Harnack in finanza. In particolare si osserva che la disuguaglianza di Harnack fornisce un limite superiore a priori del valore futuro di un portafoglio autofinanziante in funzione del capitale iniziale.