Problema di Cauchy per l'equazione del calore e l'equazione delle onde

Oggetto della mia tesi è la trasformata di Fourier e la sua applicazione alla risoluzione dell'equazione del calore e dell'equazione delle onde. Nel primo capitolo ricordo la definizione di trasformata di Fourier, alcune sue proprietà e infine la definizione di Spazi di Schwartz. Nel secondo capitolo risolverò l'equazione del calore e nel terzo l'equazione delle onde.

Analysis of the Kohn Laplacian on the Heisenberg Group and on Cauchy-Riemann Manifolds

The purpose of this study is to analyse the regularity of a differential operator, the Kohn Laplacian, in two settings: the Heisenberg group and the strongly pseudoconvex CR manifolds. The Heisenberg group is defined as a space of dimension 2n+1 with a product. It can be seen in two different ways: as a Lie group and as the boundary of the Siegel UpperHalf Space. On the Heisenberg group there exists the tangential CR complex. From this we define its adjoint and the Kohn-Laplacian. Then we obtain estimates for the Kohn-Laplacian and find its solvability and hypoellipticity. For stating L^p and Holder estimates, we talk about homogeneous distributions. In the second part we start working with a manifold M of real dimension 2n+1. We say that M is a CR manifold if some properties are satisfied. More, we say that a CR manifold M is strongly pseudoconvex if the Levi form defined on M is positive defined. Since we will show that the Heisenberg group is a model for the strongly pseudo-convex CR manifolds, we look for an osculating Heisenberg structure in a neighborhood of a point in M, and we want this structure to change smoothly from a point to another. For that, we define Normal Coordinates and we study their properties. We also examinate different Normal Coordinates in the case of a real hypersurface with an induced CR structure. Finally, we define again the CR complex, its adjoint and the Laplacian operator on M. We study these new operators showing subelliptic estimates. For that, we don't need M to be pseudo-complex but we ask less, that is, the Z(q) and the Y(q) conditions. This provides local regularity theorems for Laplacian and show its hypoellipticity on M.

Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea

In questa tesi vengono forniti risultati sulle serie di Fourier e successivamente sulle serie di Fejér, utili per poter analizzare il cosiddetto problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea. Lo scopo è trovare soluzioni classiche del problema che presenta come dato iniziale dapprima una funzione di classe C^1 e successivamente una funzione solamente continua.

Un modello di percezione del colore, espresso da un problema di Cauchy in spazi di Banach

Scopo della tesi è studiare un modello di percezione cromatica, che descrive la propagazione dell'attività mediante un problema di Cauchy in spazi di Banach. Presentiamo dapprima il problema della stabilità delle soluzioni al problema di Cauchy tramite il metodo Lyapunov; prima in dimensione finita, e poi in spazi di Banach. Poi verifichiamo che l'equazione fondamentale di percezione cromatica ricade nel setting considerato e che il funzionale di Lyapunov associato verifica le ipotesi che assicurano la stabilità.

Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore

In quest'elaborato si risolve il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore, prendendo come oggetto d'esame una sbarra omogenea. Nel primo capitolo si studiano le serie di Fourier reali a partire dalle serie trigonometriche; vengono dati, poi, i principali risultati di convergenza puntuale, uniforme ed in L^2 e si discute l'integrabilità termine a termine di una serie di Fourier. Il secondo capitolo tratta la convergenza secondo Cesàro, le serie di Fejèr ed i principali risultati di convergenza di queste ultime. Nel terzo, ed ultimo, capitolo si risolve il Problema di Cauchy-Dirichlet, distinguendo i casi in cui il dato iniziale sia di classe C^1 o solo continuo; nel secondo caso si propone una risoluzione basata sulle serie di Fejér e sul concetto di barriera ed una utilizzando il nucleo di Green per l'equazione del calore.