Il filtro di Kalman: analisi di serie storiche e applicazione ai dati finanziari

Historia magistra vitae, scriveva Cicerone nel De Oratore; il passato deve insegnare a comprendere meglio il futuro. Un concetto che a primo acchito può sembrare confinato nell'ambito della filosofia e della letteratura, ma che ha invece applicazioni matematiche e fisiche di estrema importanza. Esistono delle tecniche che permettono, conoscendo il passato, di effettuare delle migliori stime del futuro? Esistono dei metodi che permettono, conoscendo il presente, di aggiornare le stime effettuate nel passato? Nel presente elaborato viene illustrato come argomento centrale il filtro di Kalman, un algoritmo ricorsivo che, dato un set di misure di una certa grandezza fino al tempo t, permette di calcolare il valore atteso di tale grandezza al tempo t+1, oltre alla varianza della relativa distribuzione prevista; permette poi, una volta effettuata la t+1-esima misura, di aggiornare di conseguenza valore atteso e varianza della distribuzione dei valori della grandezza in esame. Si è quindi applicato questo algoritmo, testandone l'efficacia, prima a dei casi fisici, quali il moto rettilineo uniforme, il moto uniformemente accelerato, l'approssimazione delle leggi orarie del moto e l'oscillatore armonico; poi, introducendo la teoria di Kendall conosciuta come ipotesi di random walk e costruendo un modello di asset pricing basato sui processi di Wiener, si è applicato il filtro di Kalman a delle serie storiche di rendimenti di strumenti di borsa per osservare se questi si muovessero effettivamente secondo un modello di random walk e per prevedere il valore al tempo finale dei titoli.

Pricing in stochastic-local volatility models with default

In recent years is becoming increasingly important to handle credit risk. Credit risk is the risk associated with the possibility of bankruptcy. More precisely, if a derivative provides for a payment at cert time T but before that time the counterparty defaults, at maturity the payment cannot be effectively performed, so the owner of the contract loses it entirely or a part of it. It means that the payoff of the derivative, and consequently its price, depends on the underlying of the basic derivative and on the risk of bankruptcy of the counterparty. To value and to hedge credit risk in a consistent way, one needs to develop a quantitative model. We have studied analytical approximation formulas and numerical methods such as Monte Carlo method in order to calculate the price of a bond. We have illustrated how to obtain fast and accurate pricing approximations by expanding the drift and diffusion as a Taylor series and we have compared the second and third order approximation of the Bond and Call price with an accurate Monte Carlo simulation. We have analysed JDCEV model with constant or stochastic interest rate. We have provided numerical examples that illustrate the effectiveness and versatility of our methods. We have used Wolfram Mathematica and Matlab.

Forward implied volatility expansions in LSV models

In this work we address the problem of finding formulas for efficient and reliable analytical approximation for the calculation of forward implied volatility in LSV models, a problem which is reduced to the calculation of option prices as an expansion of the price of the same financial asset in a Black-Scholes dynamic. Our approach involves an expansion of the differential operator, whose solution represents the price in local stochastic volatility dynamics. Further calculations then allow to obtain an expansion of the implied volatility without the aid of any special function or expensive from the computational point of view, in order to obtain explicit formulas fast to calculate but also as accurate as possible.

FX modelling under collateralization

We present the market practice for interest rate yield curves construction and pricing interest rate derivatives. Then we give a brief description of the Vasicek and the Hull-White models, with an example of calibration to market data. We generalize the classical Black-Scholes-Merton pricing formulas, considering more general cases such as perfect or partial collateral, derivatives on a dividend paying asset subject to repo funding, and multiple currencies. Finally we derive generic pricing formulae for different combinations of cash flow and collateral currencies, and we apply the results to the pricing of FX swaps and CCS, and we discuss curve bootstrapping.