Simulazione di sistemi quantistici, approccio numerico e sperimentale nel caso della localizzazione di Anderson

In questo lavoro viene presentato l'utilizzo di simulatori quantistici nello studio di sistemi a molte componenti. Dall'idea iniziale di Feynman della intersimulazione tra sistemi quantistici in questi anni si è sempre più sviluppata la tecnica sperimentale necessaria a creare sistemi di atomi in reticoli ottici ben controllati, nei quali riprodurre il comportamento di sistemi di natura diversa, ottenendo risultati promettenti nell'indagine di situazioni non trattabili analiticamente o numericamente. Tra questi, la conduzione di elettroni in materiali disordinati è ancora un problema aperto. In questa tesi nello specifico sono trattati i modelli di Anderson e di André-Aubry, i quali prevedono una transizione da stati estesi a localizzati in presenza di disordine nel materiale. I due modelli sono stati investigati numericamente su reticoli monodimensionali e i risultati confrontati con una realizzazione sperimentale realizzata con atomi freddi.

Il problema della Nearest Correlation Matrix: il metodo delle proiezioni alternate e l'accelerazione di Anderson

Un problema frequente nell'analisi dei dati del mondo reale è quello di lavorare con dati "non coerenti", poiché raccolti a tempi asincroni o a causa di una successiva modifica "manuale" per ragioni che esulano da quelle matematiche. In particolare l'indagine dell'elaborato nasce da motivazioni di tipo finanziario, dove strumenti semplici come le matrici di correlazione, che sono utilizzate per capire le relazioni tra vari titoli o strategie, non rispettano delle caratteristiche cruciali a causa dell'incoerenza dei dati. A partire da queste matrici "invalide" si cerca la matrice di correlazione più vicina in norma, in modo da mantenere più informazioni originali possibili. Caratterizzando la soluzione del problema tramite analisi convessa, si utilizza il metodo delle proiezioni alternate, largamente utilizzato per la sua flessibilità anche se penalizzato dalla velocità di convergenza lineare. Viene quindi proposto l'utilizzo dell'accelerazione di Anderson, una tecnica per accelerare la convergenza dei metodi di punto fisso che, applicata al metodo di proiezione alternata, porta significativi miglioramenti in termini di tempo computazionale e numero di iterazioni. Si mostra inoltre come, nel caso di varianti del problema, l'applicazione dell'accelerazione di Anderson abbia un effetto maggiore rispetto al caso del problema "classico".