Funzioni di Sobolev

In questa tesi cercherò di analizzare le funzioni di Sobolev su R}^{n}, seguendo le trattazioni Measure Theory and Fine Properties of Functions di L.C. Evans e R.F.Gariepy e l'elaborato Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations di H. Brezis. Le funzioni di Sobolev si caratterizzano per essere funzioni con le derivate prime deboli appartenenti a qualche spazio L^{p}. I vari spazi di Sobolev hanno buone proprietà di completezza e compattezza e conseguentemente sono spesso i giusti spazi per le applicazioni di analisi funzionale. Ora, come vedremo, per definizione, l'integrazione per parti è valida per le funzioni di Sobolev. È, invece, meno ovvio che altre regole di calcolo siano allo stesso modo valide. Così, ho inteso chiarire questa questione di carattere generale, con particolare attenzione alle proprietà puntuali delle funzioni di Sobolev. Abbiamo suddiviso il lavoro svolto in cinque capitoli. Il capitolo 1 contiene le definizioni di base necessarie per la trattazione svolta; nel secondo capitolo sono stati derivati vari modi di approssimazione delle funzioni di Sobolev con funzioni lisce e sono state fornite alcune regole di calcolo per tali funzioni. Il capitolo 3 darà un' interpretazione dei valori al bordo delle funzioni di Sobolev utilizzando l'operatore Traccia, mentre il capitolo 4 discute l' estensione su tutto R^{n} di tali funzioni. Proveremo infine le principali disuguaglianze di Sobolev nel Capitolo 5.

Analysis of morphological and functional heterogeneity in ct perfusion images of lung tumours

Questa tesi si propone di innovare lo stato dell’arte dei metodi di analisi dell’eterogeneità in lesioni polmonari attualmente utilizzati, affiancando l’analisi funzionale (emodinamica) a quella morfologica, grazie allo sviluppo di nuove feature specifiche. Grazie alla collaborazione tra il Computer Vision Group (CVG) dell’Università di Bologna e l’Unità Operativa di Radiologia dell’IRCCS-IRST di Meldola (Istituto di Ricovero e Cura a Carattere Scientifico – Istituto Scientifico Romagnolo per lo Studio e la Cura dei Tumori), è stato possibile analizzare un adeguato numero di casi reali di pazienti affetti da lesioni polmonari primitive, effettuando un’analisi dell’eterogeneità sia su sequenze di immagini TC baseline sia contrast-enhanced, consentendo quindi un confronto tra eterogeneità morfologica e funzionale. I risultati ottenuti sono infine discussi sulla base del confronto con le considerazioni di natura clinica effettuate in cieco da due esperti radiologi dell’IRCCS-IRST.

Multi-scalar critical theories: first steps for a non perturbative functional renormalization group analysis

In this work the fundamental ideas to study properties of QFTs with the functional Renormalization Group are presented and some examples illustrated. First the Wetterich equation for the effective average action and its flow in the local potential approximation (LPA) for a single scalar field is derived. This case is considered to illustrate some techniques used to solve the RG fixed point equation and study the properties of the critical theories in D dimensions. In particular the shooting methods for the ODE equation for the fixed point potential as well as the approach which studies a polynomial truncation with a finite number of couplings, which is convenient to study the critical exponents. We then study novel cases related to multi field scalar theories, deriving the flow equations for the LPA truncation, both without assuming any global symmetry and also specialising to cases with a given symmetry, using truncations based on polynomials of the symmetry invariants. This is used to study possible non perturbative solutions of critical theories which are extensions of known perturbative results, obtained in the epsilon expansion below the upper critical dimension.