Rapporto tensore su scalare con gravità indotta: analisi dell’approssimazione di slow-roll nei frames di Jordan e Einstein

L’obbiettivo di questa tesi è quello di analizzare le conseguenze della scelta del frame (Jordan o Einstein) nel calcolo delle proprietà degli spettri primordiali generati dall’inflazione ed in particolare dell’osservabile r (rapporto tensore su scalare) al variare del potenziale del campo che genera l’espansione accelerata. Partendo dalla descrizione della teoria dell’inflazione in relatività generale, focalizzando l’attenzione sui motivi che hanno portato all’introduzione di questa teoria, vengono presentate le tecniche di utilizzo comune per lo studio della dinamica omogenea (classica) inflazionaria e di quella disomogenea (quantistica). Una particolare attenzione viene rivolta ai metodi di approssimazione che è necessario adottare per estrarre predizioni analitiche dai modelli inflazionari per poi confrontarle con le osservazioni. Le tecniche introdotte vengono poi applicate ai modelli di inflazione con gravità indotta, ovvero ad una famiglia di modelli con accoppiamento non minimale tra il campo scalare inflatonico e il settore gravitazionale. Si porrà attenzione alle differenze rispetto ai modelli con accoppiamento minimale, e verrà studiata la dinamica in presenza di alcuni potenziali derivanti dalla teoria delle particelle e diffusi in letteratura. Il concetto di “transizione tra il frame di Jordan e il frame di Einstein” viene illustrato e le sue conseguenze nel calcolo approssimato del rapporto tensore su scalare sono discusse. Infine gli schemi di approssimazione proposti vengono analizzati numericamente. Risulterà che per due dei tre potenziali presentati i metodi di approssimazione sono più accurati nel frame di Einstein, mentre per il terzo potenziale i due frames portano a risultati analitici similmente accurati.

Il teorema di Sard

Considerata un'applicazione differenziabile F da M a N dove M e N sono due varietà differenziabili, un punto p di M si dice punto regolare di F se il differenziale è suriettivo, si dice punto critico di F se, al contrario, il differenziale non è suriettivo. Un valore critico di F è l'immagine di un punto critico, mentre un valore regolare è un punto di F(M) che non è un valore critico. In questa tesi viene enunciato e dimostrato il teorema di Sard, che afferma che l'insieme dei valori critici di F ha misura nulla secondo Lebesgue in N, e se ne mostrano alcune applicazioni.

Il Teorema di Connettività per i Campi Vettoriali di Hörmander, e Applicazioni

Lo scopo di questa Tesi di Laurea è quello di dimostrare il Teorema di Connettività per un sistema di Hörmander di campi vettoriali, il quale ci fornisce una condizione sufficiente alla connessione di un aperto di R^N tramite curve integrali a tratti dei campi vettoriali stessi e dei loro opposti, e presentarne alcune applicazioni. Nel primo Capitolo daremo i prerequisiti necessari alla trattazione degli altri tre, con particolare attenzione ad un Lemma che mette in relazione le curve integrali del commutatore di m campi vettoriali con la composizione di un opportuno numero di mappe flusso dei campi vettoriali che costituiscono il commutatore. Il secondo Capitolo è interamente dedicato alla dimostrazione del Teorema di Connettività e all'analisi della definizione delle curve subunitarie in un aperto rispetto ad una famiglia di campi vettoriali X, dette curve X-subunitarie. Nel terzo Capitolo forniremo una introduzione alla distanza di Carnot-Carathéodory, detta anche distanza di X-controllo, arrivando a dimostrare il notevolissimo Teorema di Chow-Rashewskii, il quale ci fornisce, sotto le ipotesi del Teorema di Connettività, una stima tra la metrica Euclidea e la distanza di X-controllo, mediante due disuguaglianze. Queste ultime implicano anche una equivalenza tra la topologia indotta dalla distanza di X-controllo e la topologia Euclidea. Nel quarto e ultimo Capitolo, indagheremo gli insiemi di propagazione tramite curve integrali dei campi vettoriali in X e tramite curve X-subunitarie. Utilizzando la definizione di invarianza di un insieme rispetto ad un campo vettoriale e avvalendosi del Teorema di Nagumo-Bony, dimostreremo che: la chiusura dei punti raggiungibili, partendo da un punto P in un aperto fissato, tramite curve integrali a tratti dei campi vettoriali in X e dei loro opposti, è uguale alla chiusura dei punti raggiungibili, sempre partendo da P, tramite un particolare sottoinsieme di curve X-subunitarie C^1 a tratti.

Il Teorema di Riesz sui Funzionali Positivi e Alcune Applicazioni

Il tema centrale di questa Tesi è il cosiddetto "Teorema di Rappresentazione di Riesz" per i funzionali positivi su alcuni spazi di funzione continue. Questo Teorema, caposaldo dell'Analisi Funzionale, è inscindibilmente legato alla Teoria della Misura. Esso, infatti, stabilisce un'importante legame tra funzionali lineari positivi e misure positive di Radon. Dopo un'ampia disamina di questo Teorema, la Tesi si concentra su alcune delle sue Applicazioni in Analisi Reale e in Teoria del Potenziale. Nello specifico, viene provato un notevole risultato di Analisi Reale: la differenziabilità quasi dappertutto delle funzioni monotone su un intervallo reale. Nella dimostrazione di questo fatto, risulta cruciale anche un interessantissimo argomento di "continuità dalla positività", attraverso cui passiamo varie volte nella Tesi. Infatti, esso è determinante anche nelle Applicazioni in Teoria del Potenziale per la costruzione della misura armonica di un aperto regolare e della cosiddetta "misura di Riesz di una funzione subarmonica".

Un Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond sulle Serie Trigonometriche, e Applicazioni

L'argomento della Tesi è lo studio delle serie trigonometriche e di Fourier: in particolare, il problema dello sviluppo in serie trigonometrica di una data funzione 2π-periodica e l'unicità di tale sviluppo, che si deduce dal Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. Nel Capitolo 1 sono stati richiamati alcune definizioni e risultati di base della teoria delle serie trigonometriche e di Fourier. Il Capitolo 2 è dedicato alla teoria della derivata seconda di Schwarz (una generalizzazione della derivata seconda classica) e delle cosidette funzioni 1/2-convesse: il culmine di questo capitolo è rappresentato dal Teorema di De la Vallée-Poussin, che viene applicato crucialmente nella prova del teorema centrale della tesi. Nel Capitolo 3 si torna alla teoria delle serie trigonometriche, applicando i risultati principali della teoria della derivata seconda di Schwarz e delle funzioni 1/2-convesse, visti nel capitolo precedente, per definire il concetto di funzione di Riemann e di somma nel senso di Riemann di una serie trigonometrica e vederne le principali proprietà. Conclude il Capitolo 3 la prova del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond, in cui vengono usate tutte le nozioni e i risultati del terzo capitolo e il Teorema di De la Vallée-Poussin. Infine, il Capitolo 4 è dedicato alle applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. In una prima sezione del Capitolo 4 vi sono alcuni casi particolari del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond e in particolare viene dimostrata l'unicità dello sviluppo in serie trigonometrica per una funzione 2π-periodica e a valori finiti. Conclude la Tesi un'altra applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond: la prova dell'esistenza di funzioni continue e 2π-periodiche che non sono la somma puntuale di nessuna serie trigonometrica, con un notevole esempio di Lebesgue.

Il Teorema di Morse-Sard

Questa tesi riguarda il Teorema di Morse-Sard nella sua versione generale. Tale teorema afferma che l'immagine dei punti critici di una funzione di classe C^k da un aperto di R^m a R^n è un insieme di misura di Lebesgue nulla se k >= m-n+1 (se m >= n) o se k >= 1 (se mDi tale teorema diamo una dimostrazione, tratta dall’articolo di Moreira-Ruas (2009). Dimostriamo inoltre il Teorema di Varberg (1966) riguardante il caso delle funzioni differenziabili con m=n. Si fornisce poi un’applicazione del Teorema di Morse-Sard: la formula di Coarea per funzioni a valori reali.

L'identità di Pohozaev come applicazione del teorema della divergenza

In questa tesi verrà enunciato e dimostrato un notevole teorema chiamato identità di Pohozaev, che riguarda le soluzioni di particolari problemi di Dirichlet per il Laplaciano. Questo risultato sarà ottenuto come corollario del classico teorema della divergenza. Dopo alcune nozioni preliminari, si enuncia il teorema della divergenza. Infine, dopo una breve introduzione riguardo le equazioni alle derivate parziali del 2° ordine e problemi di Dirichlet per il Laplaciano, viene enunciata e dimostrata l'identità di Pohozaev. Seguono alcuni corollari, dei quali uno riguarda la non esistenza di soluzioni per un particolare problema di Dirichlet.

Il Teorema di Arnold-Liouville

Lo scopo della tesi è dimostrare il teorema di Arnold-Liouville, il quale afferma che dato un sistema a n gradi di libertà, con n integrali primi del moto in involuzione, esiste una trasformazione canonica di variabili azione-angolo, attraverso la quale si può riscrivere il sistema in uno ad esso equivalente, ma dipendente solo dalle azioni. Per arrivare a questo risultato nel primo capitolo viene richiamata la nozione di sistema hamiltoniano, di flusso del sistema e delle sue proprietà, viene infine introdotta una operazione binaria tra funzioni, la parentesi di Poisson, evidenziando il suo legame con il formalismo hamiltoniano. Nel secondo capitolo si definisce inizialmente cos'è una trasformazione canonica di variabili, dimostrando poi alcuni criteri per la canonicità di queste, mediante la verifica di determinate condizione necessarie e sufficienti, con opportuni esempi di trasformazioni canoniche e non. Nel terzo capitolo si definisce cos'è un sistema hamiltoniano integrabile, facendone successivamente un esempio a un grado di libertà con il pendolo. Il procedimento svolto in questo esempio si vorrà poi estendere a un generico sistema a n gradi di libertà, dunque verrà enunciato e dimostrato il teorema di Arnold-Liouvill, il quale, sotto opportune ipotesi, permette di risolvere questo problema.

Funzioni a variazione limitata di una variabile

Nel primo capitolo sono presentate alcune generalità: le principali proprietà delle funzioni a variazione limitata di una variabile partendo dalla definizione classica introdotta da Jordan e sono ricordati alcuni risultati già studiati durante questi anni di studio. Nel secondo capitolo dimostriamo un importante risultato sulla differenziabilità quasi ovunque delle funzioni a variazione limitata. Questo risultato è ottenuto come conseguenza di un teorema di ricoprimento di Vitali, che abbiamo dimostreremato come risultato più generale in R^n. Abbiamo visto inoltre la definizione di funzione assolutamente continua e caratterizzato questa classe di funzioni, collegandole proprio alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale (la validità del teorema fondamentale per funzioni è in effetti una caratterizzazione di questa classe di funzioni). Nel terzo capitolo infine, dopo aver fornito la definizione moderna di funzione a variazione limitata (funzione BV), si sono confrontate le due definizioni provandone la loro equivalenza.

Produzione di bioetanolo da scarti lignocellulosici della canna da zucchero: condizioni di saccarificazione e fermentazione simultanee (SSF) e aspetti ambientali del processo

Il presente studio ha avuto l’obiettivo di indagare la produzione di bioetanolo di seconda generazione a partire dagli scarti lignocellulosici della canna da zucchero (bagassa), facendo riscorso al processo enzimatico. L’attività di ricerca è stata svolta presso il Dipartimento di Ingegneria Chimica dell’Università di Lund (Svezia) all’interno di rapporti scambio con l’Università di Bologna. Il principale scopo è consistito nel valutare la produzione di etanolo in funzione delle condizioni operative con cui è stata condotta la saccarificazione e fermentazione enzimatica (SSF) della bagassa, materia prima che è stata sottoposta al pretrattamento di Steam Explosion (STEX) con aggiunta di SO2 come catalizzatore acido. Successivamente, i dati ottenuti in laboratorio dalla SSF sono stati utilizzati per implementare, in ambiente AspenPlus®, il flowsheet di un impianto che simula tutti gli aspetti della produzione di etanolo, al fine di studiarne il rendimento energetico dell’intero processo. La produzione di combustibili alternativi alle fonti fossili oggigiorno riveste primaria importanza sia nella limitazione dell’effetto serra sia nel minimizzare gli effetti di shock geopolitici sulle forniture strategiche di un Paese. Il settore dei trasporti in continua crescita, consuma nei paesi industrializzati circa un terzo del fabbisogno di fonti fossili. In questo contesto la produzione di bioetanolo può portare benefici per sia per l’ambiente che per l’economia qualora valutazioni del ciclo di vita del combustibile ne certifichino l’efficacia energetica e il potenziale di mitigazione dell’effetto serra. Numerosi studi mettono in risalto i pregi ambientali del bioetanolo, tuttavia è opportuno fare distinzioni sul processo di produzione e sul materiale di partenza utilizzato per comprendere appieno le reali potenzialità del sistema well-to-wheel del biocombustibile. Il bioetanolo di prima generazione ottenuto dalla trasformazione dell’amido (mais) e delle melasse (barbabietola e canna da zucchero) ha mostrato diversi svantaggi: primo, per via della competizione tra l’industria alimentare e dei biocarburanti, in secondo luogo poiché le sole piantagioni non hanno la potenzialità di soddisfare domande crescenti di bioetanolo. In aggiunta sono state mostrate forti perplessità in merito alla efficienza energetica e del ciclo di vita del bioetanolo da mais, da cui si ottiene quasi la metà della produzione di mondiale di etanolo (27 G litri/anno). L’utilizzo di materiali lignocellulosici come scarti agricolturali e dell’industria forestale, rifiuti urbani, softwood e hardwood, al contrario delle precedenti colture, non presentano gli svantaggi sopra menzionati e per tale motivo il bioetanolo prodotto dalla lignocellulosa viene denominato di seconda generazione. Tuttavia i metodi per produrlo risultano più complessi rispetto ai precedenti per via della difficoltà di rendere biodisponibili gli zuccheri contenuti nella lignocellulosa; per tale motivo è richiesto sia un pretrattamento che l’idrolisi enzimatica. La bagassa è un substrato ottimale per la produzione di bioetanolo di seconda generazione in quanto è disponibile in grandi quantità e ha già mostrato buone rese in etanolo se sottoposta a SSF. La bagassa tal quale è stata inizialmente essiccata all’aria e il contenuto d’acqua corretto al 60%; successivamente è stata posta a contatto per 30 minuti col catalizzatore acido SO2 (2%), al termine dei quali è stata pretrattata nel reattore STEX (10L, 200°C e 5 minuti) in 6 lotti da 1.638kg su peso umido. Lo slurry ottenuto è stato sottoposto a SSF batch (35°C e pH 5) utilizzando enzimi cellulolitici per l’idrolisi e lievito di birra ordinario (Saccharomyces cerevisiae) come consorzio microbico per la fermentazione. Un obiettivo della indagine è stato studiare il rendimento della SSF variando il medium di nutrienti, la concentrazione dei solidi (WIS 5%, 7.5%, 10%) e il carico di zuccheri. Dai risultati è emersa sia una buona attività enzimatica di depolimerizzazione della cellulosa che un elevato rendimento di fermentazione, anche per via della bassa concentrazione di inibitori prodotti nello stadio di pretrattamento come acido acetico, furfuraldeide e HMF. Tuttavia la concentrazione di etanolo raggiunta non è stata valutata sufficientemente alta per condurre a scala pilota un eventuale distillazione con bassi costi energetici. Pertanto, sono stati condotti ulteriori esperimenti SSF batch con addizione di melassa da barbabietola (Beta vulgaris), studiandone preventivamente i rendimenti attraverso fermentazioni alle stesse condizioni della SSF. I risultati ottenuti hanno suggerito che con ulteriori accorgimenti si potranno raggiungere gli obiettivi preposti. E’ stato inoltre indagato il rendimento energetico del processo di produzione di bioetanolo mediante SSF di bagassa con aggiunta di melassa in funzione delle variabili più significative. Per la modellazione si è fatto ricorso al software AspenPlus®, conducendo l’analisi di sensitività del mix energetico in uscita dall’impianto al variare del rendimento di SSF e dell’addizione di saccarosio. Dalle simulazioni è emerso che, al netto del fabbisogno entalpico di autosostentamento, l’efficienza energetica del processo varia tra 0.20 e 0.53 a seconda delle condizioni; inoltre, è stata costruita la curva dei costi energetici di distillazione per litro di etanolo prodotto in funzione delle concentrazioni di etanolo in uscita dalla fermentazione. Infine sono già stati individuati fattori su cui è possibile agire per ottenere ulteriori miglioramenti sia in laboratorio che nella modellazione di processo e, di conseguenza, produrre con alta efficienza energetica bioetanolo ad elevato potenziale di mitigazione dell’effetto serra.

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.

Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Studio di topologie d'antenne su substrati magneto-dielettrici

Le più moderne e diffuse applicazioni wireless attuali sono dedicate a sistemi distribuiti in grandi quantità ed il più possibile miniaturizzati. In questa tesi si discute di tecniche di miniaturizzazione delle antenne di questi sistemi. Tradizionalmente tali tecniche si sono basate su substrati ad elevata costante dielettrica che hanno però, come contropartita, un deterioramento delle prestazioni radianti. Un'alternativa molto promettente è offerta da substrati magneto-dielettrici che, pur garantendo analoghe riduzioni degli ingombri, possono offrire migliori opportunità per il comportamento radiante e per l'adattamento dell'antenna al resto del sistema. In questa tesi, partendo dallo stato dell'arte della letteratura scientifica, si è sviluppato un modello che consente di valutare a priori i vantaggi/svantaggi di diverse topologie d'antenne basate su substrati magneto-dielettrici. Il metodo si basa sul teorema di equivalenza. Infine la tesi affronta il problema di sviluppare un metodo per la caratterizzazione dei parametri costitutivi di tali materiali.

Il polverino di gomma nel riciclaggio a freddo: metodo sperimentale

In questo lavoro sono state studiate diverse miscele di conglomerato bituminoso riciclato a freddo, nelle quali si è inserito polverino di gomma proveniente da riciclaggio di pneumatici dismessi. Lo scopo è stato quello di valutare l’effetto del polverino di gomma all’interno di miscele, contenenti il 100% di fresato, confezionate a freddo con emulsione di bitume e cemento, analizzandone gli effetti sulla lavorabilità, sulla resistenza a trazione indiretta, sui moduli di rigidezza e sulle resistenze a fatica. Nel capitolo primo è introdotto il concetto di sviluppo sostenibile con particolare attenzione al campo delle pavimentazioni stradali. Sono analizzati i più recenti dati riguardanti la produzione di rifiuti di demolizione e ricostruzione in Europa e in Italia. Segue una descrizione del materiale di risulta da scarifica delle pavimentazioni stradali, dei pneumatici e delle modalità di recupero degli stessi. Nel capitolo secondo sono riportati i principali riferimenti legislativi a livello comunitario, nazionale e locale riguardanti le attività coinvolte nel processo di riciclaggio dei rifiuti per la loro utilizzazione nella costruzione di opere stradali, accompagnati dai principali documenti ausiliari, quali sentenze e disposizioni applicative a completamento del suddetto quadro normativo. Nel capitolo terzo vengono descritte le principali tecniche di riciclaggio del fresato. Particolare attenzione viene posta nella descrizione delle procedure operative e dei macchinari adottati nelle operazioni di riciclaggio in sito. Infine vengono valutati i pregi e i difetti delle tecniche di riciclaggio a freddo analizzando i vantaggi economici ed ambientali rispetto a quelle tradizionali a caldo. Nel capitolo quarto sono analizzate le singole costituenti della miscela: Emulsione Bituminosa, Cemento, Aggregati, Polverino di Gomma e Acqua, definendone per ciascuna il ruolo e le caratteristiche meccaniche e fisiche che le contraddistinguono. Nel capitolo quinto, viene sviluppato il programma sperimentale, sono definiti gli obbiettivi e descritte in modo approfondito le cinque fasi nelle quali si articola. Nella fase uno, vengono introdotte le miscele che dovranno essere studiate. Segue una caratterizzazione dei principali costituenti alla base di tali miscele: fresato , polverino di gomma, cemento, filler,emulsione bituminosa. Nella fase due avviene il confezionamento dei provini mediante compattazione con pressa giratoria. Al termine della realizzazione dei campioni, vengono descritte e analizzate le proprietà volumetriche del materiale quali il grado di addensamento, la densità, la lavorabilità. Nelle fasi tre, quattro e cinque, vengono eseguiti in successione test per la valutazione delle resistenze a trazione indiretta ITS, test per la determinazione dei moduli di rigidezza ITSM ed infine test per la valutazione delle durate dei materiali a fatica ITFT. Per ognuno dei test, sono descritte le procedure operative sulla base delle normative di riferimento vigenti. Segue l’analisi dei risultati di ciascuna prova e la valutazione dell’effetto che i singoli costituenti hanno sulle caratteristiche meccaniche della miscela.