Knot theory and its applications

Nella tesi verranno presi in considerazione tre aspetti: si descriverà come la teoria dei nodi si sia sviluppata nel corso degli anni in relazione alle diverse scoperte scientifiche avvenute. Si potrà quindi subito avere una idea di come questa teoria sia estremamente connessa a diverse altre. Nel secondo capitolo ci si occuperà degli aspetti più formali di questa teoria. Si introdurrà il concetto di nodi equivalenti e di invariante dei nodi. Si definiranno diversi invarianti, dai più elementari, le mosse di Reidemeister, il numero di incroci e la tricolorabilità, fino ai polinomi invarianti, tra cui il polinomio di Alexander, il polinomio di Jones e quello di Kaufman. Infine si spiegheranno alcune applicazioni della teoria dei nodi in chimica, fisica e biologia. Sulla chimica, si definirà la chiralità molecolare e si mostrerà come la chiralità dei nodi possa essere utile nel determinare quella molecolare. In campo fisico, si mostrerà la relazione che esiste tra l'equazione di Yang-Baxter e i nodi. E in conclusione si mostrerà come modellare un importante processo biologico, la recombinazione del DNA, grazie alla teoria dei nodi.

Geometria dei Gruppi Lineari Classici

La tesi è un'introduzione classica alla teoria dei Gruppi di Lie, con esempi tratti dall'algebra lineare elementare (fondamentalmente di gruppi matriciali). Dopo alcuni esempi concreti in dimensione tre, si passano a definire varietà topologiche e differenziali, e quindi gruppi di Lie astratti (assieme alle loro Algebre di Lie). Nel terzo capitolo si dimostra come alcuni sottogruppi del Gruppo Generale Lineare siano effettivamente Gruppi di Lie.

Italian texts as networks: Topological measurements, Zipf and Heaps' laws

In questa tesi si è studiato un corpus di importanti testi della letteratura Italiana utilizzando la teoria dei network. Le misure topologiche tipiche dei network sono state calcolate sui testi letterari, poi sono state studiate le loro distribuzioni e i loro valori medi, per capire quali di esse possono distinguere un testo reale da sue modificazioni. Inoltre si è osservato come tutti i testi presentino due importanti leggi statistiche: la legge di Zipf e quella di Heaps.

Semigruppi generati da operatori lineari multivoci ed applicazioni a problemi di evoluzione degeneri

Studio del problema evolutivo degenere in uno spazio di Banach, con condizioni di tipo parabolico, attraverso la generalizzazione della teoria dei semigruppi al caso di operatori multivoci. Il problema viene dunque ridotto a un'equazione multivoca. Si riporta inoltre come esempio l'equazione del calore di Poisson.

Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Conoscenze geochimiche per la gestione dei sedimenti in ambito portuale: caso di studio della Pialassa Piomboni

Il presente lavoro di tesi ha avuto come oggetto l’analisi geochimica dei sedimenti superficiali della Pialassa Piomboni, area umida in comunicazione con il porto-canale Candiano, situata nel comune di Ravenna. Tale analisi si inserisce nell’ambito di un progetto di riqualificazione dell’area che prevede il dragaggio dei sedimenti superficiali. In particolare, è stato determinato il contenuto chimico totale degli elementi maggiori e in traccia tramite spettrometria a fluorescenza a raggi X (XRF). Sono stati individuati i principali fattori che determinano la distribuzione spaziale degli elementi nell’area di studio. Particolare interesse è stato attribuito allo studio dei metalli pesanti (As, Cr, Cu, Ni, Pb, Zn), per i quali si è voluto studiare se le concentrazioni riscontrate all’interno della Pialassa Piomboni sono dovute a variabilità naturale o ad attività antropiche. A tal fine, i valori di concentrazione ottenuti sono stati paragonati con quelli ricavati da studi precedenti condotti in sedimenti provenienti dallo stesso ambiente deposizionale di laguna; sulla base di questi dati è stato calcolato il valore di fondo naturale dei metalli pesanti. Le concentrazioni degli elementi nella Pialassa Piomboni sono state poi confrontate con le soglie di qualità chimica indicate dal manuale ICRAM per la movimentazione dei sedimenti marini (ICRAM-APAT, 2007).

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Semigruppi di operatori ed equazioni paraboliche

Primi elementi della teoria dei semigruppi di operatori lineari e applicazione del metodo dei semigruppi alle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico.

Alcuni esempi nella classificazione dei gruppi finiti di ordine dato

La tesi approfondisce alcuni argomenti di teoria dei gruppi e fornisce alcuni esempi nella classificazione dei gruppi finiti di ordine dato.

Teoria del consenso e applicazione al problema del coordinamento del moto di robot.

Il sempre crescente numero di applicazioni di reti di sensori, robot cooperanti e formazioni di veicoli, ha fatto sì che le problematiche legate al coordinamento di sistemi multi-agente (MAS) diventassero tra le più studiate nell’ambito della teoria dei controlli. Esistono numerosi approcci per affrontare il problema, spesso profondamente diversi tra loro. La strategia studiata in questa tesi è basata sulla Teoria del Consenso, che ha una natura distribuita e completamente leader-less; inoltre il contenuto informativo scambiato tra gli agenti è ridotto al minimo. I primi 3 capitoli introducono ed analizzano le leggi di interazione (Protocolli di Consenso) che permettono di coordinare un Network di sistemi dinamici. Nel capitolo 4 si pensa all'applicazione della teoria al problema del "loitering" circolare di più robot volanti attorno ad un obiettivo in movimento. Si sviluppa a tale scopo una simulazione in ambiente Matlab/Simulink, che genera le traiettorie di riferimento di raggio e centro impostabili, a partire da qualunque posizione iniziale degli agenti. Tale simulazione è stata utilizzata presso il “Center for Research on Complex Automated Systems” (CASY-DEI Università di Bologna) per implementare il loitering di una rete di quadrirotori "CrazyFlie". I risultati ed il setup di laboratorio sono riportati nel capitolo 5. Sviluppi futuri si concentreranno su algoritmi locali che permettano agli agenti di evitare collisioni durante i transitori: il controllo di collision-avoidance dovrà essere completamente indipendente da quello di consenso, per non snaturare il protocollo di Consenso stesso.

Crittografia basata sull'identità e curve ellittiche

Questa tesi ha lo scopo di fornire una panoramica generale sulle curve ellittiche e il loro utilizzo nella crittografia moderna. L'ultima parte è invece focalizzata a descrivere uno specifico sistema per lo scambio sicuro di messaggi: la crittografia basata sull'identità. Quest'ultima utilizza uno strumento molto interessante, il pairing di Weil, che sarà introdotto nel contesto della teoria dei divisori di funzioni razionali sulle curve ellittiche.

Analisi distribuzioni degli elementi delle matrici di un controllo h-infinito

Lo studio di tesi che segue analizza un problema di controllo ottimo che ho sviluppato con la collaborazione dell'Ing. Stefano Varisco e della Dott.ssa Francesca Mincigrucci, presso la Ferrari Spa di Maranello. Si è trattato quindi di analizzare i dati di un controllo H-infinito; per eseguire ciò ho utilizzato i programmi di simulazione numerica Matlab e Simulink. Nel primo capitolo è presente la teoria dei sistemi di equazioni differenziali in forma di stato e ho analizzato le loro proprietà. Nel secondo capitolo, invece, ho introdotto la teoria del controllo automatico e in particolare il controllo ottimo. Nel terzo capitolo ho analizzato nello specifico il controllo che ho utilizzato per affrontare il problema richiesto che è il controllo H-infinito. Infine, nel quarto e ultimo capitolo ho specificato il modello che ho utilizzato e ho riportato l'implementazione numerica dell'algoritmo di controllo, e l'analisi dei dati di tale controllo.

Firma digitale e algoritmo DSA

La firma digitale è uno degli sviluppi più importanti della crittografia a chiave pubblica, che permette di implementarne le funzionalità di sicurezza. La crittografia a chiave pubblica, introdotta nel 1976 da Diffie ed Hellman, è stata l'unica grande rivoluzione nella storia della crittografia. Si distacca in modo radicale da ciò che l'ha preceduta, sia perché i suoi algoritmi si basano su funzioni matematiche e non su operazioni di sostituzione e permutazione, ma sopratutto perché è asimmetrica: prevede l'uso di due chiavi distinte (mentre nelle crittografia simmetrica si usa una sola chiave condivisa tra le parti). In particolare, le funzioni matematiche su cui si basa tale crittografia sono funzioni ben note nella Teoria dei Numeri: ad esempio fattorizzazione, calcolo del logaritmo discreto. La loro importanza deriva dal fatto che si ritiene che siano 'computazionalmente intrattabili' da calcolare. Dei vari schemi per la firma digitale basati sulla crittografia a chiave pubblica, si è scelto di studiare quello proposto dal NIST (National Institute of Standard and Technology): il Digital Signature Standard (DSS), spesso indicato come DSA (Digital Signature Algorithm) dal nome dell'algoritmo che utilizza. Il presente lavoro è strutturato in tre capitoli. Nel Capitolo 1 viene introdotto il concetto di logaritmo discreto (centrale nell'algoritmo DSA) e vengono mostrati alcuni algoritmi per calcolarlo. Nel Capitolo 2, dopo una panoramica sulla crittografia a chiave pubblica, si dà una definizione di firma digitale e delle sue caratteristiche. Chiude il capitolo una spiegazione di un importante strumento utilizzato negli algoritmi di firma digitale: le funzioni hash. Nel Capitolo 3, infine, si analizza nel dettaglio il DSA nelle tre fasi che lo costituiscono (inizializzazione, generazione, verifica), mostrando come il suo funzionamento e la sua sicurezza derivino dai concetti precedentemente illustrati.

Presentazioni di gruppi con generatori e relazioni

La struttura di gruppo è una delle strutture algebriche più semplici e importanti della matematica. Un gruppo si può descrivere in vari modi: uno dei più interessanti è la presentazione per generatori e relazioni. Sostanzialmente presentare un gruppo per generatori e relazioni significa dire quali specifiche ”regole di calcolo” e semplificazione valgono nel gruppo in considerazione oltre a quelle che derivano dagli assiomi di gruppo. Questo porta in particolare alla definizione di gruppo libero. Un gruppo libero non ha regole di calcolo oltre quelle derivanti dagli assiomi di gruppo. Ogni gruppo è un quoziente di un gruppo libero su un appropriato insieme di generatori per un sottogruppo normale, generato dalle relazioni. In questa tesi si ricordano le definizioni più importanti ed elementari della teoria dei gruppi e si passa in seguito a discutere il gruppo libero e le presentazioni di gruppi con generatori e relazioni, dando alcuni esempi. La tesi si conclude illustrando l’algoritmo di Coxeter e Todd, per enumerare le classi laterali di un sottogruppo quando si ha un gruppo presentato per generatori e relazioni.

Funzioni polinomiali negli anelli z_(p^n)

Questa ricerca affronta in maniera interdisciplinare il tema delle funzioni polinomiali definite sugli anelli degli interi modulo la potenza di un numero primo. In primo luogo è stato esaminato il caso particolare del campo Zp, dimostrando che in esso tutte le funzioni sono polinomiali. In seguito è stato calcolato il numero delle funzioni polinomiali negli interi modulo 9 e modulo 25, mostrando un procedimento che può essere esteso a qualsiasi potenza di un numero primo. Esso fa uso di alcuni risultati di teoria dei numeri e di aritmetica e affronta il tema da un punto di vista prettamente algebrico. A queste dimostrazioni è stato affiancato un esperimento di tipo statistico, il cui obiettivo è cercare una regolarità che permetta, dati il numero primo p e il suo esponente n, di calcolare immediatamente il numero delle funzioni polinomiali nell'anello degli interi modulo p^n. Sono state presentate due congetture, ottenute utilizzando strumenti di tipo informatico: un software di calcolo e un linguaggio di programmazione ad alto livello. Gli strumenti della statistica descrittiva, in particolare il test di Pearson, si sono rivelati essenziali per verificare l'adeguatezza delle supposizioni. Questa ricerca può essere considerata il punto di partenza per dimostrare (o confutare) quello che è stato ipotizzato attraverso un'analisi di tipo sperimentale.