Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Riconoscimento di gesti: estensione a movimenti fini su spazi limitati. Teoria e implementazione

Riconoscere un gesto, tracciarlo ed identificarlo è una operazione complessa ed articolata. Negli ultimi anni, con l’avvento massivo di interfacce interattive sempre più sofisticate, si sono ampliati gli approcci nell’interazione tra uomo e macchina. L’obiettivo comune, è quello di avere una comunicazione “trasparente” tra l’utente e il computer, il quale, deve interpretare gesti umani tramite algoritmi matematici. Il riconoscimento di gesti è un modo per iniziare a comprendere il linguaggio del corpo umano da parte della macchina. Questa disciplina, studia nuovi modi di interazione tra questi due elementi e si compone di due macro obiettivi : (a) tracciare i movimenti di un particolare arto; (b) riconoscere tale tracciato come un gesto identificativo. Ognuno di questi due punti, racchiude in sé moltissimi ambiti di ricerca perché moltissimi sono gli approcci proposti negli anni. Non si tratta di semplice cattura dell’immagine, è necessario creare un supporto, a volte molto articolato, nel quale i dati grezzi provenienti dalla fotocamera, necessitano di filtraggi avanzati e trattamenti algoritmici, in modo tale da trasformare informazioni grezze, in dati utilizzabili ed affidabili. La tecnologia riguardo la gesture recognition è rilevante come l’introduzione delle interfacce tattili sui telefoni intelligenti. L’industria oggi ha iniziato a produrre dispositivi in grado di offrire una nuova esperienza, la più naturale possibile, agli utenti. Dal videogioco, all’esperienza televisiva gestita con dei piccoli gesti, all’ambito biomedicale, si sta introducendo una nuova generazione di dispositivi i cui impieghi sono innumerevoli e, per ogni ambito applicativo, è necessario studiare al meglio le peculiarità, in modo tale da produrre un qualcosa di nuovo ed efficace. Questo lavoro di tesi ha l’obiettivo di apportare un contributo a questa disciplina. Ad oggi, moltissime applicazioni e dispositivi associati, si pongono l’obiettivo di catturare movimenti ampi: il gesto viene eseguito con la maggior parte del corpo e occupa una posizione spaziale rilevante. Questa tesi vuole proporre invece un approccio, nel quale i movimenti da seguire e riconoscere sono fatti “nel piccolo”. Si avrà a che fare con gesti classificati fini, dove i movimenti delle mani sono compiuti davanti al corpo, nella zona del torace, ad esempio. Gli ambiti applicativi sono molti, in questo lavoro si è scelto ed adottato l’ambito artigianale.

Caratterizzazione della misura di entropia di singolo nodo nell'ambito della teoria statistica dei network

In questo lavoro si è affrontata la definizione e la caratterizzazione di una misura di entropia di singolo nodo nell’ambito della teoria statistica dei network, per ottenere informazioni a livello di singolo nodo a fini di analisi e classificazione. Sono state introdotte e studiate alcune proprietà di questi osservabili in quanto la Network Entropy, precedentemente definita e utilizzata nello stesso contesto, fornisce un’informazione globale a livello dell’intero network. I risultati delle analisi svolte con questa definizione sono stati confrontati con una seconda definizione di entropia di singolo nodo proveniente dalla letteratura, applicando entrambe le misure allo stesso problema di caratterizzazione di due classi di nodi all’interno di un network

Alcune applicazioni della teoria delle equazioni differenziali ordinarie a problemi di moto unidimensionale.

Applicazione delle equazioni differenziali alla Legge di Newton e ai vari tipi di moto armonico

Polinomi di Bernstein e curve di Bezier

Questo lavoro si pone come obiettivo l'approfondimento della natura e delle proprietà dei polinomi espressi mediante la base di Bernstein. Introdotti originariamente all'inizio del '900 per risolvere il problema di approssimare una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato della retta reale (Teorema di Stone-Weierstrass), essi hanno riscosso grande successo solo a partire dagli anni '60 quando furono applicati alla computer-grafica per costruire le cosiddette curve di Bezier. Queste, ereditando le loro proprietà geometriche da quelle analitiche dei polinomi di Bernstein, risultano intuitive e facilmente modellabili da un software interattivo e sono alla base di tutti i più moderni disegni curvilinei: dal design industriale, ai sistemi CAD, dallo standard SVG alla rappresentazione di font di caratteri.

Capitoli della teoria delle funzioni di K. Weierstrass nell'interpretazione di A. Hurwitz e S. Pincherle

Ricostruzione della teoria delle funzioni affrontata nel corso "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen" tenuto da K. Weierstrass attraverso l'analisi e il confronto dei saggi di due suoi studenti: A. Hurwitz e S. Pincherle.

Teoria spettrale in spazi di Hilbert

In questa tesi ci si occuperà di presentare alcuni aspetti salienti della teoria spettrale per gli operatori limitati negli spazi di Hilbert. Nel primo capitolo verranno presentate alcune nozioni fondamentali di analisi funzionale, necessarie per lo studio degli operatori. Il secondo capitolo si occupa invece di analizzare la teoria spettrale per operatori compatti. In particolare, verrà presentato il Teorema Spettrale per Operatori Normali Compatti e il Teorema dell'Alternativa di Fredholm. In seguito verrà applicata tale teoria alla risolubilità del problema di Dirichlet. Nel terzo capitolo verrà esteso quanto ottenuto per gli operatori compatti ad operatori limitati autoaggiunti e per gli operatori normali limitati, passando attraverso le famiglie spettrali.