Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.

Mimicking the one-dimensional marginal distributions of stochastic diffusions

In the large maturity limit, we compute explicitly the Local Volatility surface for Heston, through Dupire’s formula, with Fourier pricing of the respective derivatives of the call price. Than we verify that the prices of European call options produced by the Heston model, concide with those given by the local volatility model where the Local Volatility is computed as said above.

Italian texts as networks: Topological measurements, Zipf and Heaps' laws

In questa tesi si è studiato un corpus di importanti testi della letteratura Italiana utilizzando la teoria dei network. Le misure topologiche tipiche dei network sono state calcolate sui testi letterari, poi sono state studiate le loro distribuzioni e i loro valori medi, per capire quali di esse possono distinguere un testo reale da sue modificazioni. Inoltre si è osservato come tutti i testi presentino due importanti leggi statistiche: la legge di Zipf e quella di Heaps.

Dynamic networks, text analysis and Gephi: the art math

In numerosi campi scientici l'analisi di network complessi ha portato molte recenti scoperte: in questa tesi abbiamo sperimentato questo approccio sul linguaggio umano, in particolare quello scritto, dove le parole non interagiscono in modo casuale. Abbiamo quindi inizialmente presentato misure capaci di estrapolare importanti strutture topologiche dai newtork linguistici(Degree, Strength, Entropia, . . .) ed esaminato il software usato per rappresentare e visualizzare i grafi (Gephi). In seguito abbiamo analizzato le differenti proprietà statistiche di uno stesso testo in varie sue forme (shuffolato, senza stopwords e senza parole con bassa frequenza): il nostro database contiene cinque libri di cinque autori vissuti nel XIX secolo. Abbiamo infine mostrato come certe misure siano importanti per distinguere un testo reale dalle sue versioni modificate e perché la distribuzione del Degree di un testo normale e di uno shuffolato abbiano lo stesso andamento. Questi risultati potranno essere utili nella sempre più attiva analisi di fenomeni linguistici come l'autorship attribution e il riconoscimento di testi shuffolati.

La congettura di Collatz

Presentazione dei risultati più importanti e famosi che riguardano la congettura di Collatz. Analisi empiriche e nuovi risultati riguardanti la congettura e le sue generalizzazioni.

Metodi di approssimazione saddlepoint ed applicazioni finanziarie

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Algoritmi di regolarizzazione con variazione totale nella ricostruzione di immagini di tomosintesi

La tomografia computerizzata (CT) è una metodica di diagnostica per immagini che consiste in una particolare applicazione dei raggi X. Essa, grazie ad una valutazione statistico-matematica (computerizzata) dell'assorbimento di tali raggi da parte delle strutture corporee esaminate, consente di ottenere immagini di sezioni assiali del corpo umano. Nonostante le dosi di radiazioni somministrate durante un esame siano contenute, questa tecnica rimane sconsigliata per pazienti sensibili, perciò nasce il tentativo della tomosintesi: ottenere lo stesso risultato della CT diminuendo le dosi somministrate. Infatti un esame di tomosintesi richiede poche proiezioni distribuite su un range angolare di appena 40°. Se da una parte la possibilità di una ingente diminuzione di dosi e tempi di somministrazione costituisce un grosso vantaggio dal punto di vista medico-diagnostico, dal punto di vista matematico esso comporta un nuovo problema di ricostruzione di immagini: infatti non è banale ottenere risultati validi come per la CT con un numero basso di proiezioni,cosa che va a infierire sulla mal posizione del problema di ricostruzione. Un possibile approccio al problema della ricostruzione di immagini è considerarlo un problema inverso mal posto e studiare tecniche di regolarizzazione opportune. In questa tesi viene discussa la regolarizzazione tramite variazione totale: verranno presentati tre algoritmi che implementano questa tecnica in modi differenti. Tali algoritmi verranno mostrati dal punto di vista matematico, dimostrandone ben posizione e convergenza, e valutati dal punto di vista qualitativo, attraverso alcune immagini ricostruite. Lo scopo è quindi stabilire se ci sia un metodo più vantaggioso e se si possano ottenere buoni risultati in tempi brevi, condizione necessaria per una applicazione diffusa della tomosintesi a livello diagnostico. Per la ricostruzione si è fatto riferimento a problemi-test cui è stato aggiunto del rumore, così da conoscere l'immagine originale e poter vedere quanto la ricostruzione sia ad essa fedele. Il lavoro principale dunque è stata la sperimentazione degli algoritmi su problemi test e la valutazione dei risultati, in particolare per gli algoritmi SGP e di Vogel, che in letteratura sono proposti per problemi di image deblurring.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Metodi di tipo level set per la segmentazione di immagini di nevi

La tesi in oggetto propone un algoritmo che viene incontro alla necessità di segmentare in modo regolare immagini di nevi. Si è fatto uso di metodi level set region-based in una formulazione variazionale. Tale metodo ha permesso di ottenere una segmentazione precisa, adattabile a immagini di nevi con caratteristiche molto diverse ed in tempi computazionali molto bassi.

Nuovi metodi di analisi di dati epigenetici per la previsione dell'età del paziente

Analizzeremo dati di metilazione di diversi gruppi di pazienti, mettendoli in relazione con le loro età, intesa in senso anagrafico e biologico. Adatteremo metodi di regressione che sono già stati usati in altri studi, in particolare di tipo statistico, cercando di migliorarli e proveremo ad applicare a questi dati anche dei metodi nuovi, non solo di tipo statistico. La nostra analisi vuole essere innovativa soprattutto perché, oltre a guardare i dati in maniera locale attraverso lo studio della metilazione di particolari sequenze genetiche più o meno note per essere collegate all’invecchiamento, andremo a considerare i dati anche in maniera globale, analizzando le proprietà della distribuzione di tutti i valori di metilazione di un paziente attraverso la trasformata di Fourier.

Statistical arbitrage on commodities

Questa tesi è incentrata sull'analisi dell'arbitraggio statistico, strategia di trading che cerca di trarre profitto dalle fluttuazioni statistiche di prezzo di uno o più asset sulla base del loro valore atteso. In generale, si creano opportunità di arbitraggio statistico quando si riescono ad individuare delle componenti sistematiche nelle dinamiche dei prezzi di alcuni asset che si muovono con regolarità persistenti e prevalenti. Perturbazioni casuali della domanda e dell’offerta nei mercati possono causare divergenze nei prezzi, dando luogo a opportunità di intermarket spread, ossia simultanei acquisto e vendita di commodities correlate tra loro. Vengono approfonditi vari test econometrici, i test unit root utilizzati per verificare se una serie storica possa essere modellizzata con un processo random walk. Infine viene costruita una strategia di trading basata sull'arbitraggio statistico e applicata numericamente alle serie storiche dal 2010 al 2014 di due titoli azionari sul petrolio: Brent e WTI.

Mean curvature flow in SE (2) and applications to visual perception

Our goal in this thesis is to provide a result of existence of the degenerate non-linear, non-divergence PDE which describes the mean curvature flow in the Lie group SE(2) equipped with a sub-Riemannian metric. The research is motivated by problems of visual completion and models of the visual cortex.

Diffusion maps in the Subriemannian motion group and perceptual grouping

Il presente lavoro è motivato dal problema della constituzione di unità percettive a livello della corteccia visiva primaria V1. Si studia dettagliatamente il modello geometrico di Citti-Sarti con particolare attenzione alla modellazione di fenomeni di associazione visiva. Viene studiato nel dettaglio un modello di connettività. Il contributo originale risiede nell'adattamento del metodo delle diffusion maps, recentemente introdotto da Coifman e Lafon, alla geometria subriemanniana della corteccia visiva. Vengono utilizzati strumenti di teoria del potenziale, teoria spettrale, analisi armonica in gruppi di Lie per l'approssimazione delle autofunzioni dell'operatore del calore sul gruppo dei moti rigidi del piano. Le autofunzioni sono utilizzate per l'estrazione di unità percettive nello stimolo visivo. Sono presentate prove sperimentali e originali delle capacità performanti del metodo.

Pricing in stochastic-local volatility models with default

In recent years is becoming increasingly important to handle credit risk. Credit risk is the risk associated with the possibility of bankruptcy. More precisely, if a derivative provides for a payment at cert time T but before that time the counterparty defaults, at maturity the payment cannot be effectively performed, so the owner of the contract loses it entirely or a part of it. It means that the payoff of the derivative, and consequently its price, depends on the underlying of the basic derivative and on the risk of bankruptcy of the counterparty. To value and to hedge credit risk in a consistent way, one needs to develop a quantitative model. We have studied analytical approximation formulas and numerical methods such as Monte Carlo method in order to calculate the price of a bond. We have illustrated how to obtain fast and accurate pricing approximations by expanding the drift and diffusion as a Taylor series and we have compared the second and third order approximation of the Bond and Call price with an accurate Monte Carlo simulation. We have analysed JDCEV model with constant or stochastic interest rate. We have provided numerical examples that illustrate the effectiveness and versatility of our methods. We have used Wolfram Mathematica and Matlab.

Fibered knots and links in lens spaces

La tesi propone alcuni esempi di link fibrati in spazi lenticolari. Sfruttando la compatibilità fra le mosse di chirurgia intera e la nozione di open book decomposition, si ricava un esempio di link fibrato prima in L(p,1), per poi generalizzarlo a L(p,q). Si conclude determinando una struttura di contatto equivalente alla open book relativa agli spazi del tipo L(p,1).