The combinatorics of Hilbert-Poincaré series of matroids

In this thesis we explore the combinatorial properties of several polynomials arising in matroid theory. Our main motivation comes from the problem of computing them in an efficient way and from a collection of conjectures, mainly the real-rootedness and the monotonicity of their coefficients with respect to weak maps. Most of these polynomials can be interpreted as Hilbert--Poincaré series of graded vector spaces associated to a matroid and thus some combinatorial properties can be inferred via combinatorial algebraic geometry (non-negativity, palindromicity, unimodality); one of our goals is also to provide purely combinatorial interpretations of these properties, for example by redefining these polynomials as poset invariants (via the incidence algebra of the lattice of flats); moreover, by exploiting the bases polytopes and the valuativity of these invariants with respect to matroid decompositions, we are able to produce efficient closed formulas for every paving matroid, a class that is conjectured to be predominant among all matroids. One last goal is to extend part of our results to a higher categorical level, by proving analogous results on the original graded vector spaces via abelian categorification or on equivariant versions of these polynomials.

Geometric and Combinatorial Aspects of NonEquilibrium Statistical Mechanics

Non-Equilibrium Statistical Mechanics is a broad subject. Grossly speaking, it deals with systems which have not yet relaxed to an equilibrium state, or else with systems which are in a steady non-equilibrium state, or with more general situations. They are characterized by external forcing and internal fluxes, resulting in a net production of entropy which quantifies dissipation and the extent by which, by the Second Law of Thermodynamics, time-reversal invariance is broken. In this thesis we discuss some of the mathematical structures involved with generic discrete-state-space non-equilibrium systems, that we depict with networks in all analogous to electrical networks. We define suitable observables and derive their linear regime relationships, we discuss a duality between external and internal observables that reverses the role of the system and of the environment, we show that network observables serve as constraints for a derivation of the minimum entropy production principle. We dwell on deep combinatorial aspects regarding linear response determinants, which are related to spanning tree polynomials in graph theory, and we give a geometrical interpretation of observables in terms of Wilson loops of a connection and gauge degrees of freedom. We specialize the formalism to continuous-time Markov chains, we give a physical interpretation for observables in terms of locally detailed balanced rates, we prove many variants of the fluctuation theorem, and show that a well-known expression for the entropy production due to Schnakenberg descends from considerations of gauge invariance, where the gauge symmetry is related to the freedom in the choice of a prior probability distribution. As an additional topic of geometrical flavor related to continuous-time Markov chains, we discuss the Fisher-Rao geometry of nonequilibrium decay modes, showing that the Fisher matrix contains information about many aspects of non-equilibrium behavior, including non-equilibrium phase transitions and superposition of modes. We establish a sort of statistical equivalence principle and discuss the behavior of the Fisher matrix under time-reversal. To conclude, we propose that geometry and combinatorics might greatly increase our understanding of nonequilibrium phenomena.

Applicazioni tecnologiche e nuovi metodi di valutazione della performance negli sport acquatici

Nello sport di alto livello l’uso della tecnologia ha raggiunto un ruolo di notevole importanza per l’analisi e la valutazione della prestazione. Negli ultimi anni sono emerse nuove tecnologie e sono migliorate quelle pre-esistenti (i.e. accelerometri, giroscopi e software per l’analisi video) in termini di campionamento, acquisizione dati, dimensione dei sensori che ha permesso la loro “indossabilità” e l’inserimento degli stessi all’interno degli attrezzi sportivi. La tecnologia è sempre stata al servizio degli atleti come strumento di supporto per raggiungere l’apice dei risultati sportivi. Per questo motivo la valutazione funzionale dell’atleta associata all’uso di tecnologie si pone lo scopo di valutare i miglioramenti degli atleti misurando la condizione fisica e/o la competenza tecnica di una determinata disciplina sportiva. L’obiettivo di questa tesi è studiare l’utilizzo delle applicazioni tecnologiche e individuare nuovi metodi di valutazione della performance in alcuni sport acquatici. La prima parte (capitoli 1-5), si concentra sulla tecnologia prototipale chiamata E-kayak e le varie applicazioni nel kayak di velocità. In questi lavori è stata verificata l’attendibilità dei dati forniti dal sistema E-kayak con i sistemi presenti in letteratura. Inoltre, sono stati indagati nuovi parametri utili a comprendere il modello di prestazione del paddler. La seconda parte (capitolo 6), si riferisce all’analisi cinematica della spinta verticale del pallanuotista, attraverso l’utilizzo della video analisi 2D, per l’individuazione delle relazioni Forza-velocità e Potenza-velocità direttamente in acqua. Questo studio pilota, potrà fornire indicazioni utili al monitoraggio e condizionamento di forza e potenza da svolgere direttamente in acqua. Infine la terza parte (capitoli 7-8), si focalizza sull’individuazione della sequenza di Fibonacci (sequenza divina) nel nuoto a stile libero e a farfalla. I risultati di questi studi suggeriscono che il ritmo di nuotata tenuto durante le medie/lunghe distanze gioca un ruolo chiave. Inoltre, il livello di autosomiglianza (self-similarity) aumenta con la tecnica del nuoto.