Maximum principle, mean value operators and quasi boundedness in non-euclidean settings

This work deals with some classes of linear second order partial differential operators with non-negative characteristic form and underlying non- Euclidean structures. These structures are determined by families of locally Lipschitz-continuous vector fields in RN, generating metric spaces of Carnot- Carath´eodory type. The Carnot-Carath´eodory metric related to a family {Xj}j=1,...,m is the control distance obtained by minimizing the time needed to go from two points along piecewise trajectories of vector fields. We are mainly interested in the causes in which a Sobolev-type inequality holds with respect to the X-gradient, and/or the X-control distance is Doubling with respect to the Lebesgue measure in RN. This study is divided into three parts (each corresponding to a chapter), and the subject of each one is a class of operators that includes the class of the subsequent one. In the first chapter, after recalling “X-ellipticity” and related concepts introduced by Kogoj and Lanconelli in [KL00], we show a Maximum Principle for linear second order differential operators for which we only assume a Sobolev-type inequality together with a lower terms summability. Adding some crucial hypotheses on measure and on vector fields (Doubling property and Poincar´e inequality), we will be able to obtain some Liouville-type results. This chapter is based on the paper [GL03] by Guti´errez and Lanconelli. In the second chapter we treat some ultraparabolic equations on Lie groups. In this case RN is the support of a Lie group, and moreover we require that vector fields satisfy left invariance. After recalling some results of Cinti [Cin07] about this class of operators and associated potential theory, we prove a scalar convexity for mean-value operators of L-subharmonic functions, where L is our differential operator. In the third chapter we prove a necessary and sufficient condition of regularity, for boundary points, for Dirichlet problem on an open subset of RN related to sub-Laplacian. On a Carnot group we give the essential background for this type of operator, and introduce the notion of “quasi-boundedness”. Then we show the strict relationship between this notion, the fundamental solution of the given operator, and the regularity of the boundary points.

Fenomeni di trasporto ed elettrostatici in membrane da Nanofiltrazione

Fenomeni di trasporto ed elettrostatici in membrane da Nanofiltrazione La capacità di predire le prestazioni delle membrane da nanofiltrazione è molto importante per il progetto e la gestione di processi di separazione a membrana. Tali prestazioni sono strettamente legate ai fenomeni di trasporto che regolano il moto dei soluti all’interno della matrice della membrana. Risulta, quindi, di rilevante importanza la conoscenza e lo studio di questi fenomeni; l’obiettivo finale è quello di mettere a punto modelli di trasporto appropriati che meglio descrivano il flusso dei soluti all’interno della membrana. A fianco dei modelli di trasporto ricopre, quindi, una importanza non secondaria la caratterizzazione dei parametri aggiustabili propri della membrana sulla quale si opera. La procedura di caratterizzazione di membrane deve chiarire le modalità di svolgimento delle prove sperimentali e le finalità che esse dovrebbero conseguire. Tuttavia, nonostante i miglioramenti concernenti la modellazione del trasporto di ioni in membrana ottenuti dalla ricerca negli ultimi anni, si è ancora lontani dall’avere a disposizione un modello univoco in grado di descrivere i fenomeni coinvolti in maniera chiara. Oltretutto, la palese incapacità del modello di non riuscire a prevedere gli andamenti sperimentali di reiezione nella gran parte dei casi relativi a miscele multicomponenti e le difficoltà legate alla convergenza numerica degli algoritmi risolutivi hanno fortemente limitato gli sviluppi del processo anche e soprattutto in termini applicativi. Non da ultimo, si avverte la necessità di poter prevedere ed interpretare l’andamento della carica di membrana al variare delle condizioni operative attraverso lo sviluppo di un modello matematico in grado di descrivere correttamente il meccanismo di formazione della carica. Nel caso di soluzioni elettrolitiche, infatti, è stato riconosciuto che la formazione della carica superficiale è tra i fattori che maggiormente caratterizzano le proprietà di separazione delle membrane. Essa gioca un ruolo importante nei processi di trasporto ed influenza la sua selettività nella separazione di molecole caricate; infatti la carica di membrana interagisce elettrostaticamente con gli ioni ed influenza l’efficienza di separazione degli stessi attraverso la partizione degli elettroliti dalla soluzione esterna all’interno dei pori del materiale. In sostanza, la carica delle membrane da NF è indotta dalle caratteristiche acide delle soluzioni elettrolitiche poste in contatto con la membrana stessa, nonché dal tipo e dalla concentrazione delle specie ioniche. Nello svolgimento di questo lavoro sono stati analizzati i principali fenomeni di trasporto ed elettrostatici coinvolti nel processo di nanofiltrazione, in particolare si è focalizzata l’attenzione sugli aspetti relativi alla loro modellazione matematica. La prima parte della tesi è dedicata con la presentazione del problema generale del trasporto di soluti all’interno di membrane da nanofiltrazione con riferimento alle equazioni alla base del modello DSP&DE, che rappresenta una razionalizzazione dei modelli esistenti sviluppati a partire dal modello DSPM, nel quale sono stati integrarti i fenomeni di esclusione dielettrica, per quanto riguarda la separazione di elettroliti nella filtrazione di soluzioni acquose in processi di Nanofiltrazione. Il modello DSP&DE, una volta definita la tipologia di elettroliti presenti nella soluzione alimentata e la loro concentrazione, viene completamente definito da tre parametri aggiustabili, strettamente riconducibili alle proprietà della singola membrana: il raggio medio dei pori all’interno della matrice, lo spessore effettivo e la densità di carica di membrana; in più può essere considerato un ulteriore parametro aggiustabile del modello il valore che la costante dielettrica del solvente assume quando confinato in pori di ridotte dimensioni. L’impostazione generale del modello DSP&DE, prevede la presentazione dei fenomeni di trasporto all’interno della membrana, descritti attraverso l’equazione di Nerst-Planck, e lo studio della ripartizione a ridosso dell’interfaccia membrana/soluzione esterna, che tiene in conto di diversi contributi: l’impedimento sterico, la non idealità della soluzione, l’effetto Donnan e l’esclusione dielettrica. Il capitolo si chiude con la presentazione di una procedura consigliata per la determinazione dei parametri aggiustabili del modello di trasporto. Il lavoro prosegue con una serie di applicazioni del modello a dati sperimentali ottenuti dalla caratterizzazione di membrane organiche CSM NE70 nel caso di soluzioni contenenti elettroliti. In particolare il modello viene applicato quale strumento atto ad ottenere informazioni utili per lo studio dei fenomeni coinvolti nel meccanismo di formazione della carica; dall’elaborazione dei dati sperimentali di reiezione in funzione del flusso è possibile ottenere dei valori di carica di membrana, assunta quale parametro aggiustabile del modello. che permettono di analizzare con affidabilità gli andamenti qualitativi ottenuti per la carica volumetrica di membrana al variare della concentrazione di sale nella corrente in alimentazione, del tipo di elettrolita studiato e del pH della soluzione. La seconda parte della tesi relativa allo studio ed alla modellazione del meccanismo di formazione della carica. Il punto di partenza di questo studio è rappresentato dai valori di carica ottenuti dall’elaborazione dei dati sperimentali di reiezione con il modello di trasporto, e tali valori verranno considerati quali valori “sperimentali” di riferimento con i quali confrontare i risultati ottenuti. Nella sezione di riferimento è contenuta la presentazione del modello teorico “adsorption-amphoteric” sviluppato al fine di descrivere ed interpretare i diversi comportamenti sperimentali ottenuti per la carica di membrana al variare delle condizioni operative. Nel modello la membrana è schematizzata come un insieme di siti attivi di due specie: il gruppo di siti idrofobici e quello de siti idrofilici, in grado di supportare le cariche derivanti da differenti meccanismi chimici e fisici. I principali fenomeni presi in considerazione nel determinare la carica volumetrica di membrana sono: i) la dissociazione acido/base dei siti idrofilici; ii) il site-binding dei contro-ioni sui siti idrofilici dissociati; iii) l’adsorbimento competitivo degli ioni in soluzione sui gruppi funzionali idrofobici. La struttura del modello è del tutto generale ed è in grado di mettere in evidenza quali sono i fenomeni rilevanti che intervengono nel determinare la carica di membrana; per questo motivo il modello permette di indagare il contributo di ciascun meccanismo considerato, in funzione delle condizioni operative. L’applicazione ai valori di carica disponibili per membrane Desal 5-DK nel caso di soluzioni contenenti singoli elettroliti, in particolare NaCl e CaCl2 permette di mettere in evidenza due aspetti fondamentali del modello: in primis la sua capacità di descrivere andamenti molto diversi tra loro per la carica di membrana facendo riferimento agli stessi tre semplici meccanismi, dall’altra parte permette di studiare l’effetto di ciascun meccanismo sull’andamento della carica totale di membrana e il suo peso relativo. Infine vengono verificate le previsioni ottenute con il modello dal suddetto studio attraverso il confronto con dati sperimentali di carica ottenuti dall’elaborazione dei dati sperimentali di reiezione disponibili per il caso di membrane CSM NE70. Tale confronto ha messo in evidenza le buone capacità previsionali del modello soprattutto nel caso di elettroliti non simmetrici quali CaCl2 e Na2SO4. In particolare nel caso un cui lo ione divalente rappresenta il contro-ione rispetto alla carica propria di membrana, la carica di membrana è caratterizzata da un andamento unimodale (contraddistinto da un estremante) con la concentrazione di sale in alimentazione. Il lavoro viene concluso con l’estensione del modello ADS-AMF al caso di soluzioni multicomponenti: è presentata una regola di mescolamento che permette di ottenere la carica per le soluzioni elettrolitiche multicomponenti a partire dai valori disponibili per i singoli ioni componenti la miscela.

Modelli Matematici per Transizioni di Fase in Materiali Speciali

In questa Tesi vengono trattati alcuni temi relativi alla modellizzazione matematica delle Transizioni di Fase, il cui filo conduttore è la descrizione basata su un parametro d'ordine, originato dalla Teoria di Landau. Dopo aver presentato in maniera generale un modo di approccio alla dinamica delle transizioni mediante campo di fase, con particolare attenzione al problema della consistenza termodinamica nelle situazioni non isoterme, si considerano tre applicazioni di tale metodo a transizioni di fase specifiche: la transizione ferromagnetica, la transizione superconduttrice e la transizione martensitica nelle leghe a memoria di forma (SMA). Il contributo maggiore viene fornito nello studio di quest'ultima transizione di fase per la quale si è elaborato un modello a campo di fase termodinamicamente consistente, atto a descriverne le proprietà termomeccaniche essenziali.

An equilibrium approach to modelling social interaction

The aim of this work is to put forward a statistical mechanics theory of social interaction, generalizing econometric discrete choice models. After showing the formal equivalence linking econometric multinomial logit models to equilibrium statical mechanics, a multi- population generalization of the Curie-Weiss model for ferromagnets is considered as a starting point in developing a model capable of describing sudden shifts in aggregate human behaviour. Existence of the thermodynamic limit for the model is shown by an asymptotic sub-additivity method and factorization of correlation functions is proved almost everywhere. The exact solution for the model is provided in the thermodynamical limit by nding converging upper and lower bounds for the system's pressure, and the solution is used to prove an analytic result regarding the number of possible equilibrium states of a two-population system. The work stresses the importance of linking regimes predicted by the model to real phenomena, and to this end it proposes two possible procedures to estimate the model's parameters starting from micro-level data. These are applied to three case studies based on census type data: though these studies are found to be ultimately inconclusive on an empirical level, considerations are drawn that encourage further refinements of the chosen modelling approach, to be considered in future work.

Bistable elliptic equations with fractional diffusion

This work concerns the study of bounded solutions to elliptic nonlinear equations with fractional diffusion. More precisely, the aim of this thesis is to investigate some open questions related to a conjecture of De Giorgi about the one-dimensional symmetry of bounded monotone solutions in all space, at least up to dimension 8. This property on 1-D symmetry of monotone solutions for fractional equations was known in dimension n=2. The question remained open for n>2. In this work we establish new sharp energy estimates and one-dimensional symmetry property in dimension 3 for certain solutions of fractional equations. Moreover we study a particular type of solutions, called saddle-shaped solutions, which are the candidates to be global minimizers not one-dimensional in dimensions bigger or equal than 8. This is an open problem and it is expected to be true from the classical theory of minimal surfaces.

Estimating persistent Betti numbers for discrete shape analysis

Persistent Topology is an innovative way of matching topology and geometry, and it proves to be an effective mathematical tool in shape analysis. In order to express its full potential for applications, it has to interface with the typical environment of Computer Science: It must be possible to deal with a finite sampling of the object of interest, and with combinatorial representations of it. Following that idea, the main result claims that it is possible to construct a relation between the persistent Betti numbers (PBNs; also called rank invariant) of a compact, Riemannian submanifold X of R^m and the ones of an approximation U of X itself, where U is generated by a ball covering centered in the points of the sampling. Moreover we can state a further result in which, this time, we relate X with a finite simplicial complex S generated, thanks to a particular construction, by the sampling points. To be more precise, strict inequalities hold only in "blind strips'', i.e narrow areas around the discontinuity sets of the PBNs of U (or S). Out of the blind strips, the values of the PBNs of the original object, of the ball covering of it, and of the simplicial complex coincide, respectively.