A graded subring of an inverse limit of polynomial rings

We study the power series ring R= K[[x1,x2,x3,...]]on countably infinitely many variables, over a field K, and two particular K-subalgebras of it: the ring S, which is isomorphic to an inverse limit of the polynomial rings in finitely many variables over K, and the ring R', which is the largest graded subalgebra of R. Of particular interest are the homogeneous, finitely generated ideals in R', among them the generic ideals. The definition of S as an inverse limit yields a set of truncation homomorphisms from S to K[x1,...,xn] which restrict to R'. We have that the truncation of a generic I in R' is a generic ideal in K[x1,...,xn]. It is shown in Initial ideals of Truncated Homogeneous Ideals that the initial ideal of such an ideal converge to the initial ideal of the corresponding ideal in R'. This initial ideal need no longer be finitely generated, but it is always locally finitely generated: this is proved in Gröbner Bases in R'. We show in Reverse lexicographic initial ideals of generic ideals are finitely generated that the initial ideal of a generic ideal in R' is finitely generated. This contrast to the lexicographic term order. If I in R' is a homogeneous, locally finitely generated ideal, and if we write the Hilbert series of the truncated algebras K[x1,...,xn] module the truncation of I as qn(t)/(1-t)n, then we show in Generalized Hilbert Numerators that the qn's converge to a power series in t which we call the generalized Hilbert numerator of the algebra R'/I. In Gröbner bases for non-homogeneous ideals in R' we show that the calculations of Gröbner bases and initial ideals in R' can be done also for some non-homogeneous ideals, namely those which have an associated homogeneous ideal which is locally finitely generated. The fact that S is an inverse limit of polynomial rings, which are naturally endowed with the discrete topology, provides S with a topology which makes it into a complete Hausdorff topological ring. The ring R', with the subspace topology, is dense in R, and the latter ring is the Cauchy completion of the former. In Topological properties of R' we show that with respect to this topology, locally finitely generated ideals in R'are closed.

Topics in geometry, analysis and inverse problems

The thesis consists of three independent parts. Part I: Polynomial amoebas We study the amoeba of a polynomial, as de ned by Gelfand, Kapranov and Zelevinsky. A central role in the treatment is played by a certain convex function which is linear in each complement component of the amoeba, which we call the Ronkin function. This function is used in two di erent ways. First, we use it to construct a polyhedral complex, which we call a spine, approximating the amoeba. Second, the Monge-Ampere measure of the Ronkin function has interesting properties which we explore. This measure can be used to derive an upper bound on the area of an amoeba in two dimensions. We also obtain results on the number of complement components of an amoeba, and consider possible extensions of the theory to varieties of codimension higher than 1. Part II: Differential equations in the complex plane We consider polynomials in one complex variable arising as eigenfunctions of certain differential operators, and obtain results on the distribution of their zeros. We show that in the limit when the degree of the polynomial approaches innity, its zeros are distributed according to a certain probability measure. This measure has its support on the union of nitely many curve segments, and can be characterized by a simple condition on its Cauchy transform. Part III: Radon transforms and tomography This part is concerned with different weighted Radon transforms in two dimensions, in particular the problem of inverting such transforms. We obtain stability results of this inverse problem for rather general classes of weights, including weights of attenuation type with data acquisition limited to a 180 degrees range of angles. We also derive an inversion formula for the exponential Radon transform, with the same restriction on the angle.

Intersections on moduli spaces of curves

We present a new approach to perform calculations with the certain standard classes in cohomology of the moduli spaces of curves. It is based on an important lemma of Ionel relating the intersection theoriy of the moduli space of curves and that of the space of admissible coverings. As particular results, we obtain expressions of Hurwitz numbers in terms of the intersections in the tautological ring, expressions of the simplest intersection numbers in terms of Hurwitz numbers, an algorithm of calculation of certain correlators which are the subject of the Witten conjecture, an improved algorithm for intersections related to the Boussinesq hierarchy, expressions for the Hodge integrals over two-pointed ramification cycles, cut-and-join type equations for a large class of intersection numbers, etc.

Högläsning – En gemensam väg in i språket : En multipel fallstudie av fyra lärares medvetna högläsning i årskurs 4 och i årskurs 6

Studien undersöker och jämför hur fyra lärare arbetar medvetet med sin högläsning i klassrummet och ifall deras arbete förändras mellan årskurs 4 och årskurs 6. Undersökningen är disponerad som en multipel fallstudie, där varje enskilt fall först analyseras separat för att därpå korsanalyseras. För att kunna besvara studiens syfte och frågeställningar genomfördes en empirisk undersökning där de fyra fallen studerades genom metoderna enkät, observation, intervju och deltagarvalidering. Därefter analyserades fallen utifrån den sociokulturella teorin om lärande, skolans styrdokument och tidigare forskning inom ämnesområdet. Resultaten ger en positiv inblick i lärares arbete med högläsning i klassrummet. De didaktiska val som ligger bakom de deltagande lärarnas högläsning går att koppla till läroplanens syfte och centrala innehåll. Lärarna verkar arbeta varierat och eleverna tränas med högläsningen som utgångspunkt i läroplanens övergripande förmågor. Lärarna har alla märkt ett generellt minskat läsintresse hos barn och elever men anser sig överlag inte märka så mycket av detta i sina egna klassrum, vilket de kopplar till att de aktivt arbetar med att läsa högt för eleverna. Vidare anser de att elevernas språkutveckling och ordförståelse gynnas av högläsning då de får lyssna till det skrivna ordet. Studiens lärare är överens om att det är viktigt att avsätta tid till högläsning i undervisningen och använder sig av en dialogisk uppläsning i sina klassrum, där högläsningen blir ett pedagogiskt verktyg. Endast en av lärarna säger sig uttryckligen arbeta med specifika metoder och strategier utifrån ämnesdidaktisk forskning, men vid besöken observerades att även de övriga lärarna intuitivt arbetar implicit med lässtrategier i sin undervisning. Gemensamt för lärarna är att de ofta väljer att arbeta ämnesintegrerat och att högläsningen blir en naturlig del i ett tematiskt arbete. De menar också att behovet av deras högläsning i undervisningen snarast ökar i och med att eleverna blir äldre, då de möts av mer komplexa texter ju äldre de blir.

Narrativ studie av sociala berättelser : Återberättning av perspektiv och mentala kausala samband för elev elever med autismspektrumtillstånd och lindrig utvecklingsstörning

Sammanfattning/Abstract Syftet med vår studie var att undersöka hur sociala berättelser kan öka färdigheter och förmågor av perspektivering och mentala kausala samband i återberättande av olika berättelser för elever med autismspektrumtillstånd (AST) och lindrig utvecklingsstörning. Metoden vi använde oss av var dels utifrån aktionsforskning att utgå från vår egen praktik och en single-case research-reversal design med två baslinjer och två interventionsfaser på fyra elever i åk 2 & 3 med AST och lindrig utvecklingsstörning på grundskolan och grundsärskolan.   Resultaten visade att interventionen med sociala berättelser utifrån bildstödsprogrammet Trippelverkstaden hade störst effekt på två elever i perspektivering. Interventionen med sociala berättelser utifrån symbol- och bildstödsprogrammet Inprint hade störst effekt av perspektivering på två av eleverna. Resultaten för mentala kausala samband gav störst effekt på två av eleverna i återberättande av sociala berättelser i interventionerna.   Slutsatserna vi kom fram till var att de rekommendationer och metoder ifrån sociala berättelser med basmeningar, enkelt språk, korta berättelser, bildstöd, användandet av fåtal karaktärer i berättelserna och relaterat till situationer/händelser eleven känner igen har gett effekt på elevernas återberättningar av perspektiv och mentala kausala samband. Interventionerna med sociala berättelser ger stöd för att användas som hjälpmedel för elever med AST och lindrig utvecklingsstörning i Theory of Mind (ToM), centrala koherens (CK) och exekutiva funktioner/arbetsminne (EF & AM) i att återberättningarna blir mer sammanhållna och ökad återberättning av perspektiv och mentala kausala samband. Vi hävdar utifrån undersökningens resultat och utfall att sociala berättelser kan utgöra ett återkommande inslag i undervisningen för att träna kognitiva-, språkliga- och kommunikativa färdigheter och förmågor av att göra olika perspektiveringar och mentala kausala samband i återberättningar av berättelser.    Nyckelord: sociala berättelser, narration, AST, lindrig utvecklingsstörning, single-case research design, aktionsforskning, perspektivering, mentala kausala samband, theory of mind, central koherens, exekutiva funktioner, arbetsminne.

Achieving completeness: from constructive set theory to large cardinals

This thesis is an exploration of several completeness phenomena, both in the constructive and the classical settings. After some introductory chapters in the first part of the thesis where we outline the background used later on, the constructive part contains a categorical formulation of several constructive completeness theorems available in the literature, but presented here in an unified framework. We develop them within a constructive reverse mathematical viewpoint, highlighting the metatheory used in each case and the strength of the corresponding completeness theorems. The classical part of the thesis focuses on infinitary intuitionistic propositional and predicate logic. We consider a propositional axiomatic system with a special distributivity rule that is enough to prove a completeness theorem, and we introduce weakly compact cardinals as the adequate metatheoretical assumption for this development. Finally, we return to the categorical formulation focusing this time on infinitary first-order intuitionistic logic. We propose a first-order system with a special rule, transfinite transitivity, that embodies both distributivity as well as a form of dependent choice, and study the extent to which completeness theorems can be established. We prove completeness using a weakly compact cardinal, and, like in the constructive part, we study disjunction-free fragments as well. The assumption of weak compactness is shown to be essential for the completeness theorems to hold.

Matematiklärares kommunikation i början och i slutet av ett kompetensutvecklingsprojekt

Sammanfattning Studiens fokus var dels vilka kategorier av innehåll som framkom i lärarnas kommunikation dels vilka förändringar i innehållet som uttolkades i matematiklärares kommunikation i början och i slutet av ett kompetensutvecklingsprojekt. Kontexten i kompetensutvecklingsprojektet var i form av modellen learning study, där sju lärarlag, sammanlagt 20 lärare deltagit. Ramverket i studien var tematisk analys, analys av matematiska kompetenser samt funktionell textanalys. Studiens resultat visar på flera förändringar, till exempel att de fem uttolkade huvudkategorierna innefattade fler underkategorier i slutet av kompetensutvecklingsprojektet. När det gäller matematiskt innehåll så visar analysen att lärarna kommunicerade matematika kompetenser på ett mer mångfacetterat sätt i slutet av kompetensutvecklingsprojektet. Då lärarna kommunicerade matematikundervisning använde de sig till viss del av ett annat sätt att uttrycka sig i slutet än i början av kompetensutvecklingsprojektet. I början talade de till exempel om att höra vad eleverna uttrycker till att i slutet använda sig av ordet lyssna. Resultatet visade även förändringar avseende hur lärarna samtalade om laborativt material. Fokus har flyttats från det laborativa materialet till att lärarna funderade över vilken matematik som eleverna uttryckte med hjälp av det laborativa materialet.