Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.

Optimização de sistemas híbridos fotovoltaicos‐eólicos em zonas insulares de diversidade climática‐Arquipélago da Madeira

Nesta tese apresento um estudo detalhado sobre vários aspectos relacionados com a optimização de sistemas híbridos fotovoltaicos-eólicos em zonas insulares de diversidade climática-arquipélago da Madeira que foi desenvolvido no Laboratório Regional de Engenharia Civil e com algumas deslocações no Laboratório de Energia Solar da Universidade de Vigo entre 2002 e 2007. Foi baseado nos conhecimentos adquiridos ao longode 25 anos de prática profissional de estudo, projecto, montagem e monitorização de tecnologias solares e eólicas, para produção de electricidade em locais isolados, bem como pesquisa e análise climatológica. Como resultado final e após a criação de uma base de dados climáticos para fins energéticos, determinámos os dias característicos de radiação solar e temperatura para cada um dos doze meses do ano, nas seis estações meteorológicas estudadas. Estes dias são de grande utilidade também para a elaboração de outros estudos. Após o tratamento dos dados constatou-se que a evolução das temperaturas ao longo do ano, tanto no caso das médias como nas médias dos valores máximos e nas médias dos valores mínimos,segue uma tendência similar em todas as estações. Concluimos que, a altitude é o factor determinante nestas diferenças, de tal maneira que quanto maior for a altitude menor são, em geral, as temperaturas médias. No estudo da irradiação global constatámos que na ilha do Porto Santo há mais 4% de radiação solar que na ilha da Madeira. Já na costa norte da Madeira, mais precisamente em São Jorge a média diária mensal e anual é inferior em cerca de 16.5 % em relação ao Porto Santo. Contudo, a costa sul da Madeira apresenta valores de radiação interessantes para o aproveitamento energético. Na abordagem à produção fotovoltaica e eólica, desenvolvemos um novo conceito que relaciona a produção eléctrica por metro quadrado de terreno horizontal, referente à área dos módulos fotovoltaicos e à área de afectação dos aerogeradores. Este novo conceito permite facilmente comparar sistemas energéticos diferentes utilizando diferentes recursos energéticos, permitindo também comparar a energia eléctrica produzida com a energia solar recebida e, deste modo, extrapolar os resultados para a toda a superfície do arquipélago. Finalmente, no que diz respeito à optimização de sistemas híbridos fotovoltaicos-eólicos nas seis zonas climáticas do arquipélago da Madeira, calculámos a produção eólica diária e a produção média diária para cada um dos doze meses do ano, bem como a média anual, isto por metro quadrado de área varrida pelo rótor do aerogerador, para que os resultados se pudessem comparar com os resultados anteriormente obtidos na produção fotovoltaica, reportados também a metro quadrado de área de módulo. No que concerne à produção máxima e comparativa de sistemas (100% fotovoltaicos e 100% eólicos), estudámos várias hipóteses para que os resultados fossem os mais gerais possíveis, tendo-se chegado à conclusão de que se se relacionar a procura de energia/consumo com a produção anual do sistema híbrido, não é necessário fazer a simulação dos sub-sistemas fotovoltaicos-eólicos em tamanho real, bastando apenas conhecer a proporção exacta destes, e extrapolar os resultados obtidos em percentagem para qualquer dimensão. Da análise comparativa dos resultados da produção energética das diferentes composições percentuais fotovoltaico-eólico, podemos avaliar facilmente o grau de cobertura de energia renovável. Conhecidas as percentagens de cobertura da procura que se obtêm com energias renováveis, é possível definir com segurança as percentagens solar-eólica que oferecem as melhores opções técnicas. Em termos de optimização técnica, concluímos que o único factor que diferencia um sistema híbrido de outro, nos 6 locais estudados, é a área do módulo fotovoltaico e a área varrida pelo rótor do aerogerador. Finalmente, concluímos que os custos das instalações híbridas e do kWh renovável produzido nos locais estudados, diminuem em todos os locais ao diminuir a percentagem do sub-sistema eólico no sistema híbrido fotovoltaico-eólico, sendo o custo mais baixo reportado sempre à Instalação toda solar (100% fotovoltaica).

Comparação de sistemas de programação

Este trabalho compara as soluções disponibilizadas pelos sistemas Derive 5.0, Maple 6 e Mathematica 4.0 para problemas que encontramos no ensino secundário e também nos primeiros anos da universidade. Procuramos destacar os aspectos distintos entre cada um dos programas ao mesmo tempo que fazemos referência aos pontos em que tudo se passa de forma semelhante. Esta dissertação aborda o cálculo numérico, o cálculo simbólico, a programação e os gráficos. Para cada um dos assuntos é estudada a forma como se podem resolver os problemas através dos três sistemas comparando-se estas soluções. Inicialmente, é feita uma abordagem que permite ao utilizador adquirir os conhecimentos básicos acerca dos diversos programas. Tratamos de seguida de algumas questões relacionadas com o cálculo numérico e com algumas funções nomeadamente da Teoria dos Números. Referimos listas e funções e são analisadas diversas formas de manipular listas e os seus elementos bem como algumas áreas da Análise Matemática das quais destacamos as equações, a derivação e a integração compreendendo cálculo numérico e cálculo simbólico. Examinamos um vasto conjunto de operações definidas sobre matrizes (representadas como listas de listas) e polinómios que abrangem as operações mais comuns de cada um dos campos. Analisamos também a programação recursiva, a programação imperativa, a programação funcional e a programação por regras de reescrita. A abordagem aqui adoptada foi a de fornecer ao utilizador as construções chave mais importantes que cada paradigma de programação utiliza bem como as informações básicas acerca do funcionamento de cada uma delas de modo a permitir a resolução dos problemas propostos. Por último os gráficos sobre os quais incidiu a nossa análise foram os de uma e de duas variáveis representados no referencial cartesiano, gráficos estes que são os mais utilizados quer ao nível do ensino superior quer ao nível do ensino secundário. A qualidade e a facilidade de obter rapidamente as representações dão outra dimensão ao estudo dos gráficos principalmente quando estamos a falar de gráficos a três dimensões. A ideia de animação gráfica é também aqui abordada sendo evidente os benefícios da utilização da mesma nos programas em que é possível efectuá-la. Concluímos que na programação o Mathematica destaca-se em relação aos demais o mesmo se passando no Maple no respeitante à representação gráfica. O Derive permite que durante o contacto inicial seja mais fácil trabalhar e aprender a linguagem própria.