Sheaves, local homeomorphisms and local sets as Hilbert locale modules

We give a thorough account of the various equivalent notions for \sheaf" on a locale, namely the separated and complete presheaves, the local home- omorphisms, and the local sets, and to provide a new approach based on quantale modules whereby we see that sheaves can be identi¯ed with certain Hilbert modules in the sense of Paseka. This formulation provides us with an interesting category that has immediate meaningful relations to those of sheaves, local homeomorphisms and local sets. The concept of B-set (local set over the locale B) present in [3] is seen as a simetric idempotent matrix with entries on B, and a map of B-sets as de¯ned in [8] is shown to be also a matrix satisfying some conditions. This gives us useful tools that permit the algebraic manipulation of B-sets. The main result is to show that the existing notions of \sheaf" on a locale B are also equivalent to a new concept what we call a Hilbert module with an Hilbert base. These modules are the projective modules since they are the image of a free module by a idempotent automorphism On the ¯rst chapter, we recall some well known results about partially ordered sets and lattices. On chapter two we introduce the category of Sup-lattices, and the cate- gory of locales, Loc. We describe the adjunction between this category and the category Top of topological spaces whose restriction to spacial locales give us a duality between this category and the category of sober spaces. We ¯nish this chapter with the de¯nitions of module over a quantale and Hilbert Module. Chapter three concerns with various equivalent notions namely: sheaves of sets, local homeomorphisms and local sets (projection matrices with entries on a locale). We ¯nish giving a direct algebraic proof that each local set is isomorphic to a complete local set, whose rows correspond to the singletons. On chapter four we de¯ne B-locale, study open maps and local homeo- morphims. The main new result is on the ¯fth chapter where we de¯ne the Hilbert modules and Hilbert modules with an Hilbert and show this latter concept is equivalent to the previous notions of sheaf over a locale.

A herança das bordadeiras madeirenses da Ribeira Brava: contributo para o estudo de um património linguístico regional e local

O Bordado da Madeira representa um património cultural regional inigualável e transporta com ele uma riqueza linguística que importa estudar. São as mulheres que transmitem este saber de mães para filhas, há já várias gerações. No ano de 1924, a indústria dos bordados contava com aproximadamente 60 000 bordadeiras (cf. Decretolei n.º 25:643, 1935: 1042). Em 2013, uma estimativa apresentada pelo Instituto do Vinho, do Bordado e do Artesanato da Madeira aponta para um total de 3 376 bordadeiras de casa em toda a Região Autónoma da Madeira. Este dado revela que a profissão de bordadeira de casa, como muitos ofícios artesanais, hoje esquecidos, poderá, nos tempos vindouros, extinguir-se. Com este provável desaparecimento, apagar-se-ão vivências, histórias, canções, quadras, expressões e termos específicos desse labor. Estará em causa toda uma herança que merece ser conservada para as futuras gerações da comunidade. Assim, para conservar esse rico património regional, com o presente trabalho, realizamos uma recolha do património cultural imaterial que o Bordado da Madeira constitui, com particular incidência linguística. Concebemos um glossário com todos os termos recolhidos no trabalho de campo, quer junto das informantes, quer através de bibliografia consultada. Circunscrevemos esta pesquisa a um dos concelhos onde se mantém um grande número de bordadeiras de casa, o da Ribeira Brava. Embora delimitado geograficamente, por imperiosa necessidade metodológica, o tema é bem mais vasto. Como se depreende, o assunto é motivador e levanta diversas questões que o impulsionam. Qual o papel da bordadeira de casa no século XXI? Será uma profissão com futuro? Há oportunidades para as jovens se interessarem por este ofício artesanal? Podem fazer dele uma profissão ou tornar-se-á uma ocupação de tempos livres? Que conhecimentos e saberes têm as novas gerações? Importará, portanto, recolher dados junto de diferentes gerações, para entender o nível de desaparecimento deste património cultural e linguístico.