Sheaves, local homeomorphisms and local sets as Hilbert locale modules

We give a thorough account of the various equivalent notions for \sheaf" on a locale, namely the separated and complete presheaves, the local home- omorphisms, and the local sets, and to provide a new approach based on quantale modules whereby we see that sheaves can be identi¯ed with certain Hilbert modules in the sense of Paseka. This formulation provides us with an interesting category that has immediate meaningful relations to those of sheaves, local homeomorphisms and local sets. The concept of B-set (local set over the locale B) present in [3] is seen as a simetric idempotent matrix with entries on B, and a map of B-sets as de¯ned in [8] is shown to be also a matrix satisfying some conditions. This gives us useful tools that permit the algebraic manipulation of B-sets. The main result is to show that the existing notions of \sheaf" on a locale B are also equivalent to a new concept what we call a Hilbert module with an Hilbert base. These modules are the projective modules since they are the image of a free module by a idempotent automorphism On the ¯rst chapter, we recall some well known results about partially ordered sets and lattices. On chapter two we introduce the category of Sup-lattices, and the cate- gory of locales, Loc. We describe the adjunction between this category and the category Top of topological spaces whose restriction to spacial locales give us a duality between this category and the category of sober spaces. We ¯nish this chapter with the de¯nitions of module over a quantale and Hilbert Module. Chapter three concerns with various equivalent notions namely: sheaves of sets, local homeomorphisms and local sets (projection matrices with entries on a locale). We ¯nish giving a direct algebraic proof that each local set is isomorphic to a complete local set, whose rows correspond to the singletons. On chapter four we de¯ne B-locale, study open maps and local homeo- morphims. The main new result is on the ¯fth chapter where we de¯ne the Hilbert modules and Hilbert modules with an Hilbert and show this latter concept is equivalent to the previous notions of sheaf over a locale.

Aprendizagem e avaliação de competências na Escola Moderna

Este trabalho tem como propósito básico procurar compreender, através observação da prática educativa e das concepções dos alunos, professores, encarregados educação e auxiliares da acção educativa, como se processa a aprendizagem avaliação de competências na Escola Moderna, a fim de descobrir factores proporcionem a aquisição de competências de forma autêntica, e tentar contribuir para diminuição da discrepância existente entre as práticas que se idealizam e as práticas existentes. As competências, ao integrarem-se na escola como um processo de inovação, na reorganização curricular consagrada no Decreto-Lei 6/2001 um elemento legislativo central, pressupõem uma concepção de currículo mais aberta e abrangente, dependente de práticas educativas mais autónomas, flexíveis, e adequadas a cada contexto. Conceber o currículo e a prática pedagógica, em termos de competências, implica uma renovação da acção educativa e uma nova postura dos professores, alunos escola, porque o desenvolvimento destas não enfatiza um processo rotineiro memorização da informação, mas, sim, a estimulação de situações de aprendizagem complexas, onde a informação é transformada, processada e mobilizada de forma pelos alunos. Para compreender este desenvolvimento de competências na escola, desenvolvemos, através de uma metodologia qualitativa, um estudo de caso centrado numa turma de 25 alunos, do 4.º ano de escolaridade, numa escola do 1.º ciclo do ensino básico, envolvendo todos os intervenientes educativos do seu quotidiano escolar. Os resultados do nosso estudo apontam para duas evidências relevantes: - alunos participantes e a professora titular tendem a apresentar uma concepção planificação e gestão das situações de aprendizagem com vista ao desenvolvimento competências como saberes em acção, coerente com os princípios e valores referentes Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais; - a atitude pessoal profissional da professora, bem como o Modelo Pedagógico do MEM, que aplica, potenciam a inovação pedagógica e uma bem sucedida aquisição de competências.

Distribuições hiperbólicas generalizadas: aplicações ao mercado português

O objectivo desta tese é discutir o uso das distribuições hiperbólicas generalizadas como modelo para os retornos logarítmicos de 4 activos do mercado de capitais Português. Os activos em análise são o índice Português PSI 20 e as 3 maiores empresas pertencentes ao PSI 20: PT, EDP e BCP. Os dados são constituidos pelos valores de fecho diário durante mais de 8 anos. Utilizando o software R procederemos à estimação dos parâmetros das distribuições para ajustamento aos dados empíricos. Para medir o grau de ajustamento das distribuições aos dados empíricos usamos os gráficos QQ-plots e 4 distâncias: Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Anderson-Darling e Fajardo-Farias-Ornelas. Os resultados obtidos permitem concluir que o melhor ajustamento é feito pela hiperbólica generalizada e em seguida a distribuição normal inversa gaussiana. Todas as distribuições desta família ajustam-se muito melhor que a distribuição normal. Por último temos uma aplicação ao cálculo do preço de derivados financeiros, nomeadamente a fórmula de uma opção de compra Europeia no modelo discutido.

Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.