Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.

Ultradistribuições exponenciais

O propósito principal desta tese é a extensão do espaço S′ (IR) das distribuições temperadas de Schwartz, usando o mesmo método de dualidade utilizado por Laurent Schwartz na sua Teoria das Distribuições (ver [Sch66]). Neste sentido, construímos um espaço de ultradistribuições exponenciais, X′, que é fechado para os operadores de derivação, translação complexa e transformação de Fourier. Para além destes operadores serem lineares e contínuos de X′ em X′, a translação complexa e a transformação de Fourier definem um isomorfismo vectorial e topológico neste espaço de ultradistribuições o que, como sabemos, generaliza o belo resultado de Schwartz para as distribuições temperadas. Estudamos as propriedades topológicas de X′ e demonstramos que o espaço S′ (IR) está contido com injecção canónica contínua e densa no nosso espaço de ultradistribuições exponenciais. A construção do espaço X′ baseia-se na estruturação de um espaço de funções teste X, que se injecta canónica, contínua e densamente em S (IR) . Este espaço X é um limite projectivo maximal de um espectro projectivo, constituído por espaços localmente convexos; definimos X′ como sendo o dual forte de X. Por fim, identificamos algumas ultradistribuições de X′, obtemos algumas séries de multipolos convergentes neste espaço e vemos que estas séries têm grande aplicabilidade na resolução de equações diferenciais ordinárias.

Equações algébricas

Jorge Nuno Silva

Comparação de sistemas de programação

Este trabalho compara as soluções disponibilizadas pelos sistemas Derive 5.0, Maple 6 e Mathematica 4.0 para problemas que encontramos no ensino secundário e também nos primeiros anos da universidade. Procuramos destacar os aspectos distintos entre cada um dos programas ao mesmo tempo que fazemos referência aos pontos em que tudo se passa de forma semelhante. Esta dissertação aborda o cálculo numérico, o cálculo simbólico, a programação e os gráficos. Para cada um dos assuntos é estudada a forma como se podem resolver os problemas através dos três sistemas comparando-se estas soluções. Inicialmente, é feita uma abordagem que permite ao utilizador adquirir os conhecimentos básicos acerca dos diversos programas. Tratamos de seguida de algumas questões relacionadas com o cálculo numérico e com algumas funções nomeadamente da Teoria dos Números. Referimos listas e funções e são analisadas diversas formas de manipular listas e os seus elementos bem como algumas áreas da Análise Matemática das quais destacamos as equações, a derivação e a integração compreendendo cálculo numérico e cálculo simbólico. Examinamos um vasto conjunto de operações definidas sobre matrizes (representadas como listas de listas) e polinómios que abrangem as operações mais comuns de cada um dos campos. Analisamos também a programação recursiva, a programação imperativa, a programação funcional e a programação por regras de reescrita. A abordagem aqui adoptada foi a de fornecer ao utilizador as construções chave mais importantes que cada paradigma de programação utiliza bem como as informações básicas acerca do funcionamento de cada uma delas de modo a permitir a resolução dos problemas propostos. Por último os gráficos sobre os quais incidiu a nossa análise foram os de uma e de duas variáveis representados no referencial cartesiano, gráficos estes que são os mais utilizados quer ao nível do ensino superior quer ao nível do ensino secundário. A qualidade e a facilidade de obter rapidamente as representações dão outra dimensão ao estudo dos gráficos principalmente quando estamos a falar de gráficos a três dimensões. A ideia de animação gráfica é também aqui abordada sendo evidente os benefícios da utilização da mesma nos programas em que é possível efectuá-la. Concluímos que na programação o Mathematica destaca-se em relação aos demais o mesmo se passando no Maple no respeitante à representação gráfica. O Derive permite que durante o contacto inicial seja mais fácil trabalhar e aprender a linguagem própria.

Quebramares portugueses (Madeira e Porto Santo): inventário e análise comparativa de soluções

A presente dissertação visa a elaboração de um inventário relativo aos quebramares portuários construídos na Região Autónoma da Madeira (RAM), complementado por uma análise comparativa das soluções adotadas. Outro dos objetivos passa pela recolha de elementos que possam revelar-se importantes contributos para futuros desenvolvimentos académicos nesta área da engenharia na UMa. Numa primeira fase, procedeu-se à identificação de todos os quebramares portuários e à análise das condições locais. Efetuou-se, a posteriori, um registo fotográfico de modo a poder enquadrá-los geograficamente na região. Numa segunda fase, elaborou-se uma base de dados com a informação recolhida dos vários quebramares identificados, que serviu de termo comparativo para a análise que se seguiu. Foi elaborada uma análise das secções transversais dos respetivos quebramares e identificadas as diferentes tipologias adotadas, com incidência na construção dos mantos resistentes, constituídos por enrocamento ou por utilização de blocos artificiais de betão. Por último, foi realizada uma comparação entre os diferentes modelos de quebramares portuários por tipologia e função. De referir que, para cada caso em particular não existe apenas uma solução e a sua escolha é determinada pela conjugação de diferentes fatores, económicos, materiais e operacionais. A seleção da solução mais adequada é em grande parte condicionada pela função que a mesma irá desempenhar bem como pelas características do local de implantação da obra. Realiza-se, assim, uma análise às diferentes soluções de quebramares portuários da RAM com o intuito de avaliar as melhores condições da sua aplicabilidade.

Estudo de soluções de monitorização automática de ribeiras para prevenção do risco de aluviões

As aluviões, também denominadas por fluxos de detritos ou enxurradas, são movimentos de vertente rápidos, que ocorrem por ação da água e são consideradas um dos fenómenos mais perigosos em regiões montanhosas, causando prejuízos por onde passam. Como forma de prevenção, mas também como forma de estudo das condições inerentes à formação destes fenómenos e do respetivo comportamento ao longo do seu percurso, deve ser atribuído um papel importante à monitorização automática dos cursos de água. Na Ilha da Madeira, a aluvião mais recente aconteceu a 20 de fevereiro de 2010, afetando os concelhos da vertente Sul, particularmente os do Funchal e Ribeira Brava. Este evento surgiu devido a uma situação meteorológica adversa, com precipitações de elevada intensidade, resultando no transporte de um elevado volume de material sólido que levou ao transbordamento das ribeiras, obstruindo completamente a baixa funchalense e outros locais. Portanto, esta dissertação surge como introdução à temática do estudo e monitorização dos fluxos de detritos na Ilha da Madeira, onde, inicialmente, foi realizada uma primeira abordagem ao fenómeno, referindo as suas causas e características, tendo sido, também, mencionadas algumas das aluviões que assolaram a ilha. Posteriormente, foram descritos alguns dos equipamentos incluídos num sistema de monitorização, com as respetivas vantagens e desvantagens, bem como a descrição de alguns sistemas existentes. Como objetivo deste trabalho, foi idealizada uma solução de monitorização automática para a bacia hidrográfica da Ribeira de Machico, tendo sido analisadas as propriedades morfológicas da bacia, seguindo-se uma descrição dos sensores utilizados e a sua localização. Por fim, como caso de estudo, foi apresentado o sistema de monitorização a ser implementado pelo LREC (Laboratório Regional de Engenharia Civil), onde foram definidos os aparelhos utilizados, bem como a respetiva localização.

A aprendizagem das noções elementares da álgebra e das equações no 7º ano de escolaridade

Esta dissertação é fruto de um processo de reflexão sobre a minha experiência pro fissional de nove anos de serviço, como docente de matemática, bem como do interesse pela análise do processo de aprendizagem que os alunos do sétimo ano de escolaridade fazem das noções elementares da álgebra. Para realizar esta investigação, foi selecionada uma turma de sétimo ano, em que a maioria dos alunos é interessada pelo seu percurso escolar, embora, por vezes, não sejam constantes na sua prestação em sala de aula, bem como na realização do estudo correto em casa. Neste estudo, optou-se por uma metodologia de natureza qualitativa, de caráter interpretativo. O estudo das noções elementares da álgebra no sétimo ano de escolaridade é um marco de suma importância no percurso escolar dos alunos. É no sétimo ano de escolaridade que estes têm o primeiro contacto com noções elementares da álgebra. Por isso as experiências iniciais tornam-se fulcrais para uma aprendizagem significativa da álgebra. Assim, neste estudo, pretende-se estudar o impacte das várias tarefas aplicadas em sala de aula, quer individualmente, quer aos pares, ou em turma, a fim de se perceber o que, efetivamente, o aluno aprendeu das noções elementares da álgebra, mais concretamen te das equações. Com estas tarefas foi possível identificar algumas das dificuldades sentidas pelos alunos, neste ramo da matemática.

Avaliação económica de soluções de fachadas ventiladas para edifícios de habitação

A indústria da construção tem um papel de destaque na vida quotidiana do ser humano e por sua vez uma grande importância no desenvolvimento da atividade económica do país. A construção de novos edifícios e infraestruturas deve contribuir para uma melhoria do desempenho, durabilidade e proporcionar qualidade de vida dos seus cidadãos. O reconhecimento da importância das fachadas para o comportamento dos edifícios tem conduzido a uma crescente atenção à temática da durabilidade do ponto de vista económico, assistindo-se cada vez a uma maior necessidade da sua integração na fase da elaboração do projeto. O recurso a metodologias económicas para a previsão dos custos de vida útil das tecnologias de construção no sentido de avaliar, o seu desempenho nos edifícios, tem permitido selecionar alternativas ao nível da implementação de soluções com menor custo de manutenção e maior probabilidade de reutilização e reciclagem numa fase de desconstrução. A presente dissertação pretende contribuir para a identificação e seleção de soluções construtivas e materiais para a execução de fachadas ventiladas em paredes exteriores de edifícios, que sejam o mais compatíveis possível com os objetivos económicos nas diversas fases do ciclo de vida de um edifício. Sendo apresentadas soluções que minimizam o custo económico de investimento, manutenção e desconstrução, e que por sua vez, aumentam a qualidade de vida dos utilizadores através do melhor desempenho que essas soluções construtivas apresentam a nível funcional, arquitetónico, saúde, bemestar, conforto e responsabilidade social. Foram analisadas diversas tecnologias construtivas para fachadas-ventilada, tendo sido avaliado o seu impacte económico ao longo do ciclo de vida a que um edifício esta sujeito. O melhor cenário para fachada ventilada foi estudado, tendo em conta o desempenho económico. Espera-se assim que este trabalho contribua de forma positiva para a seleção das soluções construtivas mais económicas para a execução de fachadas ventiladas por parte dos projetistas que tenham como objetivo proporcionar as condições de conforto adequadas aos ocupantes dos edifícios, minimizando os custos económicos no decorrer do ciclo de vida do edifício.

Soluções de reabilitação e reforço com GFRP: aplicações na Região Autónoma da Madeira

Este trabalho consiste na apresentação de técnicas de reabilitação e reforço e a sua adaptação ao GFRP (Glass Fiber Reinforced Polymer). O foco incidiu sobre as estruturas degradadas pela corrosão das armaduras, e apresenta-se uma vasta gama de técnicas de intervenção. Encamisamento, proteção eletroquímica, adição de armaduras são as técnicas mais desenvolvidas ao longo do trabalho. São ainda abordados os tipos de produtos de recobrimento, as técnicas de aplicação do recobrimento, bem como as ferramentas com maior utilidade para a reabilitação e reforço. De seguida faz-se um breve resumo das características e potencialidades do material GFRP, aborda-se alguns dos principais fornecedores, fazendo uma descrição dos produtos comercializados por estes, e ainda uma análise de preços por metro linear de varão GFRP. Por fim apresenta-se um levantamento fotográfico realizado na Região Autónoma da Madeira, de estruturas que apresentem sinais claros de corrosão das armaduras, com o objetivo de perceber a aplicabilidade dos varões de GFRP na reabilitação das mesmas. Apresenta-se ainda, uma possível técnica de reabilitação/reforço para todos os casos apresentados, utilizando os varões de GFRP. O levantamento fotográfico tem ainda o objetivo de perceber as principais causas de deterioração de estruturas na região, e de criar uma base de estruturas a necessitar de intervenção urgente.

Módulos de alojamento temporário: estado da arte e estudo de soluções

A engenharia civil sempre foi responsável por criar soluções de alojamento nas mais diversas situações. Ao longo deste trabalho, a realidade do alojamento temporário é estudada nos contextos das catástrofes naturais e campismo em festivais (tendo este último a maior preocupação), sendo feita uma descrição do modo como as pessoas costumam lidar com o alojamento temporário – de forma a entender quais os requisitos essenciais. É efetuada uma análise ao enquadramento legal aplicável a soluções de alojamento temporário que vão além das simples tendas e são inventariadas as várias soluções atualmente prototipadas ou produzidas em série idealizadas para o contexto de alojamento em caso de catástrofes. São apresentadas duas soluções de alojamento (uma em betão e outra em estrutura metálica) devidamente dimensionadas e ponderadas quanto à sua funcionalidade em festivais de Verão. No final, é feita uma comparação entre as melhores soluções já existentes e as duas soluções propostas, bem como um levantamento da opinião dos potenciais utilizadores através de um inquérito.