Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.

Ultradistribuições exponenciais

O propósito principal desta tese é a extensão do espaço S′ (IR) das distribuições temperadas de Schwartz, usando o mesmo método de dualidade utilizado por Laurent Schwartz na sua Teoria das Distribuições (ver [Sch66]). Neste sentido, construímos um espaço de ultradistribuições exponenciais, X′, que é fechado para os operadores de derivação, translação complexa e transformação de Fourier. Para além destes operadores serem lineares e contínuos de X′ em X′, a translação complexa e a transformação de Fourier definem um isomorfismo vectorial e topológico neste espaço de ultradistribuições o que, como sabemos, generaliza o belo resultado de Schwartz para as distribuições temperadas. Estudamos as propriedades topológicas de X′ e demonstramos que o espaço S′ (IR) está contido com injecção canónica contínua e densa no nosso espaço de ultradistribuições exponenciais. A construção do espaço X′ baseia-se na estruturação de um espaço de funções teste X, que se injecta canónica, contínua e densamente em S (IR) . Este espaço X é um limite projectivo maximal de um espectro projectivo, constituído por espaços localmente convexos; definimos X′ como sendo o dual forte de X. Por fim, identificamos algumas ultradistribuições de X′, obtemos algumas séries de multipolos convergentes neste espaço e vemos que estas séries têm grande aplicabilidade na resolução de equações diferenciais ordinárias.

Equações algébricas

Jorge Nuno Silva

A aprendizagem das noções elementares da álgebra e das equações no 7º ano de escolaridade

Esta dissertação é fruto de um processo de reflexão sobre a minha experiência pro fissional de nove anos de serviço, como docente de matemática, bem como do interesse pela análise do processo de aprendizagem que os alunos do sétimo ano de escolaridade fazem das noções elementares da álgebra. Para realizar esta investigação, foi selecionada uma turma de sétimo ano, em que a maioria dos alunos é interessada pelo seu percurso escolar, embora, por vezes, não sejam constantes na sua prestação em sala de aula, bem como na realização do estudo correto em casa. Neste estudo, optou-se por uma metodologia de natureza qualitativa, de caráter interpretativo. O estudo das noções elementares da álgebra no sétimo ano de escolaridade é um marco de suma importância no percurso escolar dos alunos. É no sétimo ano de escolaridade que estes têm o primeiro contacto com noções elementares da álgebra. Por isso as experiências iniciais tornam-se fulcrais para uma aprendizagem significativa da álgebra. Assim, neste estudo, pretende-se estudar o impacte das várias tarefas aplicadas em sala de aula, quer individualmente, quer aos pares, ou em turma, a fim de se perceber o que, efetivamente, o aluno aprendeu das noções elementares da álgebra, mais concretamen te das equações. Com estas tarefas foi possível identificar algumas das dificuldades sentidas pelos alunos, neste ramo da matemática.

Modelização das camadas junto aos eléctrodos em descargas de arco de alta pressão

Nesta dissertação foi realizada a modelização numérica das camadas de não-equilíbrio junto aos cátodos e ânodos em descargas de arco de alta pressão. Ao contrário de trabalhos anteriores, a modelização é uni cada, i.e., baseia-se num único conjunto de equações escritas sem suposições simpli cativas tais como equilíbrio térmico, equilíbrio de ionização (Saha) e quaseneutralidade, e não utiliza uma divisão a priori do domínio de cálculo em sub- camadas com propriedades físicas diferentes. Processos de transporte de iões e electrões são descritos no âmbito do modelo de difusão. Foi também desenvolvida uma teoria da camada de ionização junto ao cátodo no âmbito do modelo multi uido. Os resultados obtidos são comparados com dados experimentais. Os resultados da tese elucidam a física de transferência de corrente através das camadas junto aos eléctrodos em descargas de arco de alta pressão, e servem para melhor compreen- der os fenómenos que ocorrem em vários dispositivos industriais, como as lâmpadas de descarga de muito alta pressão e as tochas de plasma.

Associação do envolvimento físico com níveis de obesidade, aptidão física, actividades sedentárias e participação desportiva: um estudo em alunos dos 2º e 3º Ciclos, e Ensino Secundário de um concelho rural da RAM

O presente trabalho é constituído por dois estudos, sendo que o primeiro prende-se com a adaptação e quantificação da fiabilidade de um instrumento que visa caracterizar o envolvimento físico. O segundo estudo é constituído pela caracterização de uma amostra de jovens, no que se refere a essas variáveis do envolvimento, níveis de aptidão física, participação em actividades sedentárias e actividades desportivas, bem como da relação entre estes parâmetros. Metodologia do primeiro estudo: A amostra do primeiro estudo é constituída por 106 indivíduos de ambos os sexos (50 rapazes e 56 raparigas) do 7º ano de escolaridade. O instrumento validado por Evenson et al. (2006), foi traduzido para a língua Portuguesa, e testado para a fiabilidade através da sua aplicação em dois momentos, com uma semana de intervalo. Foi verificada a consistência interna, níveis de concordância e percentagens de acordos entre os dois momentos de avaliação. Metodologia do segundo estudo: A amostra do segundo estudo é composta por 296 indivíduos (150 do sexo masculino e 146 do sexo feminino) com idades compreendidas entre os 10 e os 18 anos (com uma média de idades de 13,6 + 1,9 anos). A classificação do IMC foi determinada pelos valores referenciados por Cole et al. (2000 e 2007). As avaliações normativas e criteriais da %MG foram obtidas pelas equações de Slaughter et al. (1988) e níveis de classificação de Lohman (1987), respectivamente. A aptidão física foi avaliada pela bateria de testes Fitnessgram (The Cooper Institute for Aerobics Research, 1999) e pela bateria de testes Eurofit (Adam et al., 1988). A variável grupo de prática desportiva foi determinada com base num questionário individual. A participação em actividades sedentárias foi determinada pela aplicação do questionário auto reportado. O envolvimento foi caracterizado com base no questionário de Evenson et al. (2006) traduzido para português. Resultados: Entre os dois momentos de avaliação, foram verificados bons níveis de concordância e uma boa consistência interna. As percentagens de acordos registadas estavam entre o razoável e o significativo, sendo estes valores similares aos apresentados por Evenson et al. (2006). A taxa de prevalência para o excesso de peso e obesidade foi de 26%, e para a %MG moderadamente alta, alta ou muito alta, foi de 53%. Ao nível dos testes motores, mais de metade da amostra classificou-se abaixo da ZAFS nos testes do vaivém, dos abdominais e da suspensão na barra. Em relação à participação desportiva, 54,4% da amostra tem como única actividade física organizada, as aulas de educação física e os restantes praticam algum tipo de actividade desportiva fora ou dentro da escola. Em relação às actividades sedentárias, 23,4% dos inquiridos afirmaram passar mais de 4 horas diárias neste tipo de actividades. Ao nível do envolvimento detectamos diferenças para o sexo e EE para apenas em alguns itens do questionário. Verificaram-se correlações significativas entre as variáveis estudadas, em nomeadamente entre os %MG e os testes motores, bem como entre os %MG e o envolvimento natural e o transporte activo.

Viver na Alta de Lisboa: o impacto do sentimento psicológico de comunidade e das relações de vizinhança no bem estar

O objectivo deste estudo é examinar os efeitos do Sentimento Psicológico de Comunidade e das Relações de Vizinhança sobre o Bem-Estar dos residentes da Alta de Lisboa (n=251), assim como, averiguar se esta influência difere de acordo com o Estatuto Socioeconómico. Para a recolha de dados, foi utilizado um questionário de auto-relato composto pelas escalas das variáveis em estudo. Os resultados da análise de Modelos de Equações Estruturais sugerem que o Sentimento Psicológico de Comunidade tem um efeito significativo no Bem-Estar dos residentes, que as Relações de Vizinhança têm um efeito positivo no Sentimento Psicológico de Comunidade e que o Sentimento Psicológico de Comunidade medeia a relação entre as Relações de Vizinhança e o Bem-Estar. Por fim, os resultados revelam não existir diferenças significativas entre os dois grupos do Estatuto Socioeconómico (alto e baixo). Pode-se concluir que o Sentimento Psicológico de Comunidade e as Relações de Vizinhança possuem um papel preponderante no Bem-Estar dos residentes, tornando-se, por isso, fundamental que as intervenções comunitárias tenham como objectivo principal estabelecer e reforçar estas variáveis dentro das comunidades.

Associação do meio (urbano, semi-urbano e rural) ao crescimento físico humano, à maturação biológica, à actividade física e à aptidão na criança e no adolescente madeirense

O objectivo central do presente estudo consistiu em investigar a associação do meio (urbano, semi-urbano e rural) ao crescimento físico humano, à maturação biológica, à actividade física e à aptidão na criança e no adolescente madeirense. Amostra foi constituída por 1498 sujeitos, 758 rapazes e 740 raparigas, que participaram no ‘Estudo de Crescimento da Madeira’. As características de crescimento físico humano incluem a altura, o peso, os diâmetros ósseos, os perímetros musculares e as pregas de adiposidade subcutânea. A idade esquelética foi estimada usando o método Tanner-Whitehouse (TW2). A actividade física e a aptidão foram avaliadas através do questionário de Baecke e da bateria de testes motores Eurofit, respectivamente. Os rapazes e as raparigas do meio urbano e semi-urbano apresentaram uma tendência para valores médios mais elevados nos perímetros musculares e nas pregas de adiposidade subcutânea. Apenas aos 14-15 anos, os rapazes do meio urbano estavam avançados na sua maturação esquelética (escalas RUS, Carpal e TW2 20-ossos). As crianças e adolescentes madeirenses do meio urbano apresentaram valores mais elevados de prática regular e sistemática de um ou mais desportos. Os resultados para as componentes da aptidão física não favorecem um único meio sócio-geográfico. Os rapazes do meio urbano e/ou semi-urbano foram mais proficientes na flexibilidade, força e resistência muscular, e potência, enquanto os rapazes rurais apresentaram melhores resultados na resistência aeróbia, força estática, e velocidade/agilidade. As raparigas do meio urbano e/ou semi-urbano apresentaram melhores resultados na velocidade/agilidade, enquanto as raparigas do meio rural foram mais proficientes na força estática e na força e resistência muscular. A eliminação dos diferenciais negativos no crescimento físico humano, na maturação biológica, na actividade física e na aptidão associados ao meio sócio-geográfico irá resultar numa melhor saúde das crianças e adolescentes madeirenses.

Comparação de sistemas de programação

Este trabalho compara as soluções disponibilizadas pelos sistemas Derive 5.0, Maple 6 e Mathematica 4.0 para problemas que encontramos no ensino secundário e também nos primeiros anos da universidade. Procuramos destacar os aspectos distintos entre cada um dos programas ao mesmo tempo que fazemos referência aos pontos em que tudo se passa de forma semelhante. Esta dissertação aborda o cálculo numérico, o cálculo simbólico, a programação e os gráficos. Para cada um dos assuntos é estudada a forma como se podem resolver os problemas através dos três sistemas comparando-se estas soluções. Inicialmente, é feita uma abordagem que permite ao utilizador adquirir os conhecimentos básicos acerca dos diversos programas. Tratamos de seguida de algumas questões relacionadas com o cálculo numérico e com algumas funções nomeadamente da Teoria dos Números. Referimos listas e funções e são analisadas diversas formas de manipular listas e os seus elementos bem como algumas áreas da Análise Matemática das quais destacamos as equações, a derivação e a integração compreendendo cálculo numérico e cálculo simbólico. Examinamos um vasto conjunto de operações definidas sobre matrizes (representadas como listas de listas) e polinómios que abrangem as operações mais comuns de cada um dos campos. Analisamos também a programação recursiva, a programação imperativa, a programação funcional e a programação por regras de reescrita. A abordagem aqui adoptada foi a de fornecer ao utilizador as construções chave mais importantes que cada paradigma de programação utiliza bem como as informações básicas acerca do funcionamento de cada uma delas de modo a permitir a resolução dos problemas propostos. Por último os gráficos sobre os quais incidiu a nossa análise foram os de uma e de duas variáveis representados no referencial cartesiano, gráficos estes que são os mais utilizados quer ao nível do ensino superior quer ao nível do ensino secundário. A qualidade e a facilidade de obter rapidamente as representações dão outra dimensão ao estudo dos gráficos principalmente quando estamos a falar de gráficos a três dimensões. A ideia de animação gráfica é também aqui abordada sendo evidente os benefícios da utilização da mesma nos programas em que é possível efectuá-la. Concluímos que na programação o Mathematica destaca-se em relação aos demais o mesmo se passando no Maple no respeitante à representação gráfica. O Derive permite que durante o contacto inicial seja mais fácil trabalhar e aprender a linguagem própria.

Composição corporal, somatótipo, actividade física e aptidão física, em crianças e adolescentes, em diferentes contextos de participação desportiva

Face ao crescente problema do sedentarismo, a actividade física assume um papel preponderante no combate a este flagelo. Neste sentido, o presente trabalho integra três estudos, em diferentes contextos de participação desportiva, e com os seguintes objectivos: no primeiro estudo, determinar se há diferenças na composição corporal e no somatótipo, em crianças e adolescentes; no segundo estudo, recorrendo à amostra anterior, determinar se há diferenças na aptidão física; e no terceiro estudo, analisar a relação entre os níveis de actividade física habitual, os indicadores de adiposidade e os níveis de aptidão, numa sub-amostra. A amostra foi constituída, nos dois primeiros estudos, por 465 sujeitos, com uma idade média de 13,72±1,64, e no terceiro estudo, por 36 sujeitos, com uma idade média de 15,25±1,03. As características somáticas foram avaliadas segundo o protocolo de Claessens et al. (1990). O índice de massa corporal (IMC) foi obtido pela razão entre o peso (kg) e a altura ao quadrado (m2). No cálculo da percentagem de massa gorda (% MG) recorreu-se às equações de Slaughter et al. (1988). O somatótipo foi avaliado segundo o método antropométrico de Heath-Carter (Carter & Heath, 1990). A aptidão física foi avaliada através das baterias de testes ‘Eurofit’ (Adam et al., 1988) e ‘Prudential Fitnessgram’ (Cooper Institute for Aerobic Research, 1992) e a actividade física por acelerometria (‘Computer Science and Applications’, Inc.). Os resultados do primeiro estudo indicam que não existem diferenças significativas (p > 0,05) na composição corporal e no somatótipo, em função da participação desportiva, enquanto o segundo estudo refere diferenças (p < 0,05), na aptidão física associada à saúde. No terceiro estudo, as crianças e os adolescentes cumprem com as recomendações internacionais de actividade física. De igual forma, a actividade física exibe uma relação negativa com os indicadores de adiposidade e positiva com a aptidão física associada à saúde.

Níveis de obesidade associados à aptidão física, comportamentos de saúde e factores psicossociais: estudo da população escolar do 5º ao 12º anos de escolaridade do Concelho de São Vicente

Através de dois estudos, o presente trabalho pretende caracterizar a população escolar do 5.º ao 12.º anos de escolaridade do concelho de São Vicente, relativamente aos níveis de obesidade associados à aptidão física, comportamentos de saúde e factores psicossociais. Metodologia: A amostra total é constituída por 421 crianças e adolescentes com idades compreendidas entre os 10 e os 21 anos, dividida em três grupos etários (GE), representando 87,2% da população escolar do 5.º ao 12.º anos do concelho de São Vicente. Os níveis de obesidade foram caracterizados através de: 1) índice de massa corporal (IMC), segundo proposto por Cole et al. (2000) para o excesso de peso e obesidade, Cole et al. (2007) para a subnutrição, e Organização Mundial de Saúde (OMS, 2006b), para sujeitos com idade superior a 18 anos; 2) percentagem de massa gorda (%MG), calculada através das equações de Slaughter et al. (1988), até aos 17 anos de idade, e classificada segundo as categorias de Lohman (1987); 3) perímetro da cintura, para classificar a Obesidade Abdominal (OA), segundo Katzmarzyk et. al (2004), para indivíduos com idade inferior a 18 anos, e pela International Diabetes Federation (IDF, 2006). Os comportamentos e factores psicossociais foram obtidos com recurso à aplicação de escalas auto-reportadas por questionário. Conclusões: No primeiro estudo, verificou-se que 19,0% dos indivíduos têm excesso de peso e 5,7% são obesos, 10,4% têm %MG alta e 12,4% excessivamente alta, e 34,9% têm OA, verificando-se também 2,9% de subnutridos e 2,1% com %MG baixa. As raparigas apresentaram prevalências superiores em todas estas classificações, com excepção para a %MG baixa onde os rapazes apresentam taxas superiores. Ao nível da aptidão física criterial, observou-se uma maior taxa de insucesso nos testes de aptidão muscular relacionados com a força, e de sucesso no teste de flexibilidade, com os rapazes a apresentarem taxas de sucesso superiores, com excepção da extensão do tronco. O vaivém é o melhor preditor de factores de risco independentemente do método de classificação de obesidade usado, com o risco a oscilar entre 3,162 (IC95% 1,883 - 5,308 na %MG) e 2,582 (IC95% 1,604 - 4,157 na OA). No segundo estudo, os alunos com OA afirmam, em média, ter um pouco de peso a mais e estarem a tentar perdê-lo, e apresentam uma percepção de saúde mais negativa comparativamente com os que não têm OA. A falta de tempo é um argumento mais utilizado pelos alunos com OA para a não realização de actividade física, em comparação com os seus pares sem OA. Estes consideram o facto de serem bons a praticar desporto como sendo uma motivação importante para o fazerem, e são os que referem andar rápido nos intervalos durante mais tempo.

Estudo do efeito do vento na quantificação da precipitação na Ilha da Madeira

Precipitação é toda a forma de deposição de água que cai na superfície terrestre, excluindo aquela que se deposita por nevoeiros, condensação do vapor de água e geada. A medição pontual de precipitação usando udógrafos, durante um determinado período de tempo, tem por objetivo obter uma amostra significativa da queda de precipitação numa determinada área limitada, para poder ser usada em estudos hidrológicos necessários ao planeamento dos recursos hídricos e conceção de todo o tipo de projetos de Engenharia. Estudos efetuados por todo o mundo afirmam que o efeito do vento é o erro tem maior influência na medição de precipitação de um determinado local. Neste estudo será realizado a análise do efeito do vento na medição da quantidade da precipitação, em dois locais da ilha da Madeira (Pico do Areeiro e Funchal), com o objetivo de encontrar uma equação do fator corretivo de precipitação, recorrendo a análise estatística ANOVA do SPSS. A recolha dos dados para a elaboração deste estudo processou-se de Outubro de 2011 até Abril de 2013. Os resultados demonstraram que o udógrafo ao nível do solo regista um maior número de eventos de superior registo de precipitação do que udógrafo do IPMA, situado a 1,5 m de altura acima do solo. No entanto, existe maior registo quantitativo de precipitação no udógrafo do IPMA, comparativamente com o udógrafo do solo. A ocorrência deste último facto poderá dever-se a possíveis erros no registo/medição de precipitação. Na estimativa das equações do fator corretivo de precipitação (k) do Pico do Areeiro e do Funchal, através da análise ANOVA do SPSS, chegou-se à conclusão que, o fator corretivo de precipitação do Pico do Areeiro depende da intensidade de precipitação e da velocidade do vento contudo, o fator corretivo de precipitação do Funchal depende, exclusivamente da intensidade de precipitação.

Aprendizagens algébricas e o desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos do 8º ano

A todos os alunos deve ser proporcionada uma aprendizagem da álgebra que promova o desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico, no entanto este é um dos temas da matemática relativamente ao qual os alunos continuam a apresentar muitas dificuldades. Este estudo tem como objetivo compreender como os alunos de 8.º ano aprendem álgebra e, em particular, como desenvolvem o seu pensamento algébrico. Tendo em conta a complexidade deste objetivo, houve a necessidade de centrar o estudo em duas questões: (a) Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem da álgebra? (b) De que forma a atividade matemática do aluno pode influenciar a aprendizagem da álgebra e o desenvolvimento do pensamento algébrico? A investigação seguiu uma metodologia qualitativa, no paradigma interpretativo, e incide no trabalho desenvolvido pelos alunos de uma turma de 8.º ano da qual a investigadora é professora. A recolha de dados baseou-se na observação direta dos comportamentos dos alunos, que foram registados através de anotações, da gravação de áudio e vídeo de algumas aulas e, ainda, em documentos produzidos pelos alunos. Procurou-se evidenciar os momentos onde ocorreram as principais aprendizagens e o desenvolvimento do pensamento algébrico. A experiência decorre ao longo do desenvolvimento dos tópicos de Funções e Equações e baseia-se na aplicação de um diversificado número de tarefas. As propostas de trabalho escolhidas pretendem proporcionar aos alunos experiências significativas para a aprendizagem da álgebra, promover o trabalho em grupo e a discussão na turma. Os resultados mostram que é necessário compreender as dificuldades que os alunos apresentam na álgebra, para lhes poder proporcionar uma aprendizagem contextualizada e com significado. Ao longo deste estudo foram muitas as dificuldades apresentadas pelos discentes, mas também se verificaram aprendizagens algébricas significativas que contribuíram para o desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico nos mesmos.