A Higher order and stable method for the numerical integration of Random Differential Equations

Trabalho apresentado no Congresso Nacional de Matemática Aplicada à Indústria, 18 a 21 de novembro de 2014, Caldas Novas - Goiás

Exploratory semiparametric analysis of two-dimensional diffusions in finance

We examine bivariate extensions of Aït-Sahalia’s approach to the estimation of univariate diffusions. Our message is that extending his idea to a bivariate setting is not straightforward. In higher dimensions, as opposed to the univariate case, the elements of the Itô and Fokker-Planck representations do not coincide; and, even imposing sensible assumptions on the marginal drifts and volatilities is not sufficient to obtain direct generalisations. We develop exploratory estimation and testing procedures, by parametrizing the drifts of both component processes and setting restrictions on the terms of either the Itô or the Fokker-Planck covariance matrices. This may lead to highly nonlinear ordinary differential equations, where the definition of boundary conditions is crucial. For the methods developed, the Fokker-Planck representation seems more tractable than the Itô’s. Questions for further research include the design of regularity conditions on the time series dependence in the data, the kernels actually used and the bandwidths, to obtain asymptotic properties for the estimators proposed. A particular case seems promising: “causal bivariate models” in which only one of the diffusions contributes to the volatility of the other. Hedging strategies which estimate separately the univariate diffusions at stake may thus be improved.

A importância dos mecanismos comportamentais de resistência para a dinâmica populacional de abelhas Apis mellifera e o parasita Varroa destructor

Os ácaros ectoparasitas Varroa destructor, que parasitam as abelhas tornaram-se um problema global. Embora seja pouco provável que estes ácaros, por si só, provoquem a mortalidade das colmeias, eles desempenham um importante papel como vetor de muitas doenças virais. E estas doenças são identificados como algumas das mais importantes razões para a Desordem do Colapso das Colônias. Os efeitos da infestação do V.destructor são distintas em diferentes partes do mundo. Maiores mortalidades de colônias têm sido relatadas em colônias de abelhas européias (AE) em países da Europa, Ásia e América do Norte. No entanto, este ácaro está presente no Brasil já por muitos anos e não existem relatos de perdas em colônias das abelhas africanizadas (AA). Estudos realizados no México mostraram que alguns comportamentos de resistência ao ácaro Varroa - especialmente o grooming e o comportamento higiênico - são diferentes em cada uma das subespécie. Poderiam então esses mecanismos explicar por que as abelhas africanizadas são menos suscetíveis à Desordem do Colapso das Colônias? A fim de responder a esta pergunta, propomos um modelo matemático baseado em equações diferenciais, com o objetivo de analisar o papel desses mecanismos de resistência na saúde geral da colônia e na capacidade da colônia para enfrentar desafios ambientais.

Um método de linearização local com passo adaptativo para solução numérica de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo

Neste trabalho apresentamos um novo método numérico com passo adaptativo baseado na abordagem de linearização local, para a integração de equações diferenciais estocásticas com ruído aditivo. Propomos, também, um esquema computacional que permite a implementação eficiente deste método, adaptando adequadamente o algorítimo de Padé com a estratégia “scaling-squaring” para o cálculo das exponenciais de matrizes envolvidas. Antes de introduzirmos a construção deste método, apresentaremos de forma breve o que são equações diferenciais estocásticas, a matemática que as fundamenta, a sua relevância para a modelagem dos mais diversos fenômenos, e a importância da utilização de métodos numéricos para avaliar tais equações. Também é feito um breve estudo sobre estabilidade numérica. Com isto, pretendemos introduzir as bases necessárias para a construção do novo método/esquema. Ao final, vários experimentos numéricos são realizados para mostrar, de forma prática, a eficácia do método proposto, e compará-lo com outros métodos usualmente utilizados.

Utilização de mercados artificiais com formadores de mercado para análise de estratégias

Na modelagem de sistemas complexos, abordagens analíticas tradicionais com equações diferenciais muitas vezes resultam em soluções intratáveis. Para contornar este problema, Modelos Baseados em Agentes surgem como uma ferramenta complementar, onde o sistema é modelado a partir de suas entidades constituintes e interações. Mercados Financeiros são exemplos de sistemas complexos, e como tais, o uso de modelos baseados em agentes é aplicável. Este trabalho implementa um Mercado Financeiro Artificial composto por formadores de mercado, difusores de informações e um conjunto de agentes heterogêneos que negociam um ativo através de um mecanismo de Leilão Duplo Contínuo. Diversos aspectos da simulação são investigados para consolidar sua compreensão e assim contribuir com a concepção de modelos, onde podemos destacar entre outros: Diferenças do Leilão Duplo Contínuo contra o Discreto; Implicações da variação do spread praticado pelo Formador de Mercado; Efeito de Restrições Orçamentárias sobre os agentes e Análise da formação de preços na emissão de ofertas. Pensando na aderência do modelo com a realidade do mercado brasileiro, uma técnica auxiliar chamada Simulação Inversa, é utilizada para calibrar os parâmetros de entrada, de forma que trajetórias de preços simulados resultantes sejam próximas à séries de preços históricos observadas no mercado.

Computer simulation of the stochastic transport equation

Trabalho apresentado no 37th Conference on Stochastic Processes and their Applications - July 28 - August 01, 2014 -Universidad de Buenos Aires

Numerical integration of coupled stochastic oscillators driven by Random Forces

Trabalho apresentado no International Conference on Scientific Computation And Differential Equations 2015