Solução da equação advectivo-difusiva utilizando regras para manipulação de exponenciais de operadores diferenciais e simetrias de Lie : aplicações em engenharia ambiental

Vários métodos analíticos, numéricos e híbridos podem ser utilizados na solução de problemas de difusão e difusão-advecção. O objetivo deste trabalho é apresentar dois métodos analíticos para obtenção de soluções em forma fechada da equação advectivo-difusiva em coordenadas cartesianas que descreve problemas de dispersão de poluentes na água e na atmosfera. Um deles é baseado em regras de manipulação de exponenciais de operadores diferenciais, e o outro consiste na aplicação de simetrias de Lie admitidas por uma equação diferencial parcial linear. Desenvolvem-se regras para manipulação de exponenciais de operadores diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e para operadores advectivo-difusivos. Nos casos em que essas regras não podem ser aplicadas utiliza-se uma formulação para a obtenção de simetrias de Lie, admitidas por uma equação diferencial, via mapeamento. Define-se um operador diferencial com a propriedade de transformar soluções analíticas de uma dada equação diferencial em novas soluções analíticas da mesma equação. Nas aplicações referentes à dispersão de poluentes na água, resolve-se a equação advectivo-difusiva bidimensional com coeficientes variáveis, realizando uma mudança de variáveis de modo a reescrevê-la em termos do potencial velocidade e da função corrente correspondentes ao respectivo escoamento potencial, estendendo a solução para domínios de contornos arbitrários Na aplicação referente ao problema de dispersão de poluentes na atmosfera, realiza-se uma mudança de variáveis de modo a obter uma equação diferencial parcial com coeficientes constantes na qual se possam aplicar as regras de manipulação de exponenciais de operadores diferenciais. Os resultados numéricos obtidos são comparados com dados disponíveis na literatura. Diversas vantagens da aplicação das formulações apresentadas podem ser citadas, a saber, o aumento da velocidade de processamento, permitindo a obtenção de solução em tempo real; a redução da quantidade de memória requerida na realização de operações necessárias para a obtenção da solução analítica; a possibilidade de dispensar a discretização do domínio em algumas situações.

Aspectos algébricos de sistemas dinâmicos

Este trabalho trata o problema genérico da obtenção analítica exata das variedades algébricas que definem domínios de estabilidade e multiestabilidade para sistemas dinâmicos dissipativos com equações de movimento definidas por funções racionais. Apresentamos um método genérico, válido para qualquer sistema dinâmico, que permite reduzir a análise de sistemas multidimensionais arbitrários à análise de um sistema unidimensional equivalente. Este método é aplicado ao mapa de Hénon, o exemplo paradigmático de sistema multidimensional, para estudar a estrutura aritmética imposta pela dinâmica das órbitas de períodos 4, 5, e 6, bem como seus domínios de estabilidade no espaço de parâmetros. Graças à obtençao de resultados analíticos exatos, podemos explorar pela primeira vez as peculariedades de cada um dos períodos mencionados. Algumas das novidades mais marcantes encontradas são as seguintes: Para período 4, encontramos um domínio de multiestabilidade caracterizado pela coexistência de duas órbitas definidas em corpos algébricos distintos. Observamos a existência de discontinuidades na dinâmica simbólica quando os parâmetros são mudados adiabáticamente ao longo de circulações fechadas no espaço de parâmetros e explicamos sua origem algébrica. Publicamos tais resultados em dois artigos: Physica A, 295, 285-290(2001) e Physical Review E, 65, 036231 (2002). Para período 5, obtivemos a variedade algébrica que define o "camarão" (shrimp) característico, obtemos uma expressão analítica para todas as órbitas de período 5, classificamos todas as singulariedades presentes no espaço de parâmetros e analisamos todas as mudanças que ocorrem ao circular-se em torno de tais singulariedades. Para período 6, da expressão analítica que fornece todas as órbitas, encontramos um resultado muito surpreendente, o mais notável desta dissertação: a possibilidade de coexistência de órbitas reais e complexas estáveis, para valores reais dos parâmetros físicos. Resultados preliminares parecem indicar serem tais órbitas complexas uma espécie de órbitas fantasmas, com semelhanças as órbitas encontradas por Gutzwiller para sistemas Hamiltonianos (não- dissipativos).

Operações booleanas entre objetos delimitados por surfels usando constrained BSP-trees

As áreas de visualização e modelagem baseados em pontos têm sido pesquisadas ativamente na computação gráfica. Pontos com atributos (por exemplo, normais) são geralmente chamados de surfels e existem vários algoritmos para a manipulação e visualização eficiente deles. Um ponto chave para a eficiência de muitos métodos é o uso de estruturas de particionamento do espaço. Geralmente octrees e KD-trees, por utilizarem cortes alinhados com os eixos são preferidas em vez das BSP-trees, mais genéricas. Neste trabalho, apresenta-se uma estrutura chamada Constrained BSP-tree (CBSP-tree), que pode ser vista como uma estrutura intermediárias entre KD-trees e BSP-trees. A CBSP-tree se caracteriza por permitir cortes arbitrários desde que seja satisfeito um critério de validade dos cortes. Esse critério pode ser redefinido de acordo com a aplicação. Isso permite uma aproximação melhor de regões curvas. Apresentam-se algoritmos para construir CBSP-trees, valendo-se da flexibilidade que a estrutura oferece, e para realizar operações booleanas usando uma nova classificação de interior/exterior.