Convex linear combination processes for compositions

Aitchison and Bacon-Shone (1999) considered convex linear combinations of compositions. In other words, they investigated compositions of compositions, where the mixing composition follows a logistic Normal distribution (or a perturbation process) and the compositions being mixed follow a logistic Normal distribution. In this paper, I investigate the extension to situations where the mixing composition varies with a number of dimensions. Examples would be where the mixing proportions vary with time or distance or a combination of the two. Practical situations include a river where the mixing proportions vary along the river, or across a lake and possibly with a time trend. This is illustrated with a dataset similar to that used in the Aitchison and Bacon-Shone paper, which looked at how pollution in a loch depended on the pollution in the three rivers that feed the loch. Here, I explicitly model the variation in the linear combination across the loch, assuming that the mean of the logistic Normal distribution depends on the river flows and relative distance from the source origins

Compositional data and Simpson's paradox

Simpson's paradox, also known as amalgamation or aggregation paradox, appears when dealing with proportions. Proportions are by construction parts of a whole, which can be interpreted as compositions assuming they only carry relative information. The Aitchison inner product space structure of the simplex, the sample space of compositions, explains the appearance of the paradox, given that amalgamation is a nonlinear operation within that structure. Here we propose to use balances, which are specific elements of this structure, to analyse situations where the paradox might appear. With the proposed approach we obtain that the centre of the tables analysed is a natural way to compare them, which avoids by construction the possibility of a paradox. Key words: Aitchison geometry, geometric mean, orthogonal projection

Compositional Time Series: An Application

The composition of the labour force is an important economic factor for a country. Often the changes in proportions of different groups are of interest. I this paper we study a monthly compositional time series from the Swedish Labour Force Survey from 1994 to 2005. Three models are studied: the ILR-transformed series, the ILR-transformation of the compositional differenced series of order 1, and the ILRtransformation of the compositional differenced series of order 12. For each of the three models a VAR-model is fitted based on the data 1994-2003. We predict the time series 15 steps ahead and calculate 95 % prediction regions. The predictions of the three models are compared with actual values using MAD and MSE and the prediction regions are compared graphically in a ternary time series plot. We conclude that the first, and simplest, model possesses the best predictive power of the three models

Hardy-Weinberg Equilibrium and the Ternary Plot

The Hardy-Weinberg law, formulated about 100 years ago, states that under certain assumptions, the three genotypes AA, AB and BB at a bi-allelic locus are expected to occur in the proportions p2, 2pq, and q2 respectively, where p is the allele frequency of A, and q = 1-p. There are many statistical tests being used to check whether empirical marker data obeys the Hardy-Weinberg principle. Among these are the classical xi-square test (with or without continuity correction), the likelihood ratio test, Fisher's Exact test, and exact tests in combination with Monte Carlo and Markov Chain algorithms. Tests for Hardy-Weinberg equilibrium (HWE) are numerical in nature, requiring the computation of a test statistic and a p-value. There is however, ample space for the use of graphics in HWE tests, in particular for the ternary plot. Nowadays, many genetical studies are using genetical markers known as Single Nucleotide Polymorphisms (SNPs). SNP data comes in the form of counts, but from the counts one typically computes genotype frequencies and allele frequencies. These frequencies satisfy the unit-sum constraint, and their analysis therefore falls within the realm of compositional data analysis (Aitchison, 1986). SNPs are usually bi-allelic, which implies that the genotype frequencies can be adequately represented in a ternary plot. Compositions that are in exact HWE describe a parabola in the ternary plot. Compositions for which HWE cannot be rejected in a statistical test are typically “close" to the parabola, whereas compositions that differ significantly from HWE are “far". By rewriting the statistics used to test for HWE in terms of heterozygote frequencies, acceptance regions for HWE can be obtained that can be depicted in the ternary plot. This way, compositions can be tested for HWE purely on the basis of their position in the ternary plot (Graffelman & Morales, 2008). This leads to nice graphical representations where large numbers of SNPs can be tested for HWE in a single graph. Several examples of graphical tests for HWE (implemented in R software), will be shown, using SNP data from different human populations

Vertebrates Limb Geometry in the Simplex space

A novel metric comparison of the appendicular skeleton (fore and hind limb) of different vertebrates using the Compositional Data Analysis (CDA) methodological approach it’s presented. 355 specimens belonging in various taxa of Dinosauria (Sauropodomorpha, Theropoda, Ornithischia and Aves) and Mammalia (Prothotheria, Metatheria and Eutheria) were analyzed with CDA. A special focus has been put on Sauropodomorpha dinosaurs and the Aitchinson distance has been used as a measure of disparity in limb elements proportions to infer some aspects of functional morphology

Measurement Quality in Indicators of Compositions: a Compositional Multitrait-Multimethod Approach

Compositional data, also called multiplicative ipsative data, are common in survey research instruments in areas such as time use, budget expenditure and social networks. Compositional data are usually expressed as proportions of a total, whose sum can only be 1. Owing to their constrained nature, statistical analysis in general, and estimation of measurement quality with a confirmatory factor analysis model for multitrait-multimethod (MTMM) designs in particular are challenging tasks. Compositional data are highly non-normal, as they range within the 0-1 interval. One component can only increase if some other(s) decrease, which results in spurious negative correlations among components which cannot be accounted for by the MTMM model parameters. In this article we show how researchers can use the correlated uniqueness model for MTMM designs in order to evaluate measurement quality of compositional indicators. We suggest using the additive log ratio transformation of the data, discuss several approaches to deal with zero components and explain how the interpretation of MTMM designs di ers from the application to standard unconstrained data. We show an illustration of the method on data of social network composition expressed in percentages of partner, family, friends and other members in which we conclude that the faceto-face collection mode is generally superior to the telephone mode, although primacy e ects are higher in the face-to-face mode. Compositions of strong ties (such as partner) are measured with higher quality than those of weaker ties (such as other network members)

Processament de la informació en nens de pre-escolar de les comarques gironines. Implicacions pedagògiques

La nostra investigació s'inscriu en la concepció dinàmica de la intel·ligència, i concretament en el processos que configuren el processament cerebral en el Model d'integració de la informació descrit per Das, Kirby i Jarman (1979). Els dos processos cerebrals que constitueixen la base de la conducta intel·ligent són el processament simultani i el processament seqüencial; són les dues estratègies principals del processament de la informació. Tota classe d'estímul és susceptible d'ésser processat o bé seqüencialment (seriació, verbal, anàlisi), o be simultàniament (global, visual, síntesi). Basant-nos en el recull bibliogràfic i amb la convicció de que apropant-nos al coneixement de les peculiaritats del processament de la informació, ens endinsem en la comprensió del procés que mena a la conducta intel·ligent, i per tant, a l'aprenentatge, formulem la següent hipòtesi de treball: en els nens de preescolar (d'entre els 3 i els sis anys) es donaran aquest dos tipus de processament i variaran en funció de l'edat, el sexe, l'atenció, les dificultats d'aprenentatge, els problemes de llenguatge, el bilingüisme, el nivell sociocultural, la dominància manual, el nivell mental i de la presència de patologia. Les diferències que s'esdevinguin ens permetran de formular criteris i pautes per a la intervenció educativa. Els nostres objectius es refonen en mesurar el processament en nens de preescolar de les comarques gironines, verificar la relació de cada tipus de processament amb les variables esmentades, comprovar si s'estableix un paral·lelisme entre el processament i les aportacions de concepció localitzacionista de les funcions cerebrals en base als nostres resultats, i pautes per a la intervenció pedagògica. Quant al mètode, hem seleccionat una mostra representativa dels nens i nenes matriculats a les escoles publiques de les comarques gironines durant el curs 92/93, mitjançant un mostreig aleatori estratificat i per conglomerats. El tamany real de la mostra és de dos-cents seixanta un subjectes. Els instruments emprats han estat els següents: el Test K-ABC de Kaufman & Kaufman (1983) per a la avaluació del processament; un formulari dirigit als pares per a la recollida de la informació pertinent; entrevistes amb les mestres, i el Test de la Figura Humana de Goodenough. Pel que fa referència als resultats de la nostra recerca i en funció dels objectius proposats, constatem els fets següents. En els nens de preescolar, amb edats d'entre els tres i els sis anys, es constata l'existència dels dos tipus de processament cerebral, sense que es doni un predomini d'un sobre de l'altre; ambdós processaments actuen interrelacionadament. Ambdós tipus de processament milloren a mesura que augmenta l'edat, però es constaten diferències derivades del nivell mental: amb un nivell mental normal s'hi associa una millora d'ambdós processaments, mentre que amb un nivell mental deficient només millora fonamentalment el processament seqüencial. Tanmateix, el processament simultani està més relacionat amb les funcions cognitives complexes i és més nivell mental dependent que el processament seqüencial. Tant les dificultats d'aprenentatge com els problemes de llenguatge predominen en els nens i nenes amb un desequilibri significatiu entre ambdós tipus de processament; les dificultats d'aprenentatge estan més relacionades amb una deficiència del processament simultani, mentre que els problemes de llenguatge es relacionen més amb una deficiència en el processament seqüencial. Els nivells socioculturals baixos es relacionen amb resultats inferiors en ambdós tipus de processament. Per altra part, entre els nens bilingües és més freqüent el processament seqüencial significatiu. El test de la Figura Humana es comporta com un marcador de processament simultani i el nivell atencional com un marcador de la gravetat del problema que afecta al processament i en el següent ordre: nivell mental deficient, dificultats, d'aprenentatge i problemes de llenguatge . Les deficiències atencionals van lligades a deficiències en el processament simultani i a la presencia de patologia. Quant a la dominància manual no es constaten diferències en el processament. Finalment, respecte del sexe només podem aportar que quan un dels dos tipus de processament és deficitari,i es dóna per tant, un desequilibri en el processament, predomina significativament el nombre de nens afectats per sobre del de nenes.