The curvature of the conical intersection seam: an approximate second-order analysis

We present a method for analyzing the curvature (second derivatives) of the conical intersection hyperline at an optimized critical point. Our method uses the projected Hessians of the degenerate states after elimination of the two branching space coordinates, and is equivalent to a frequency calculation on a single Born-Oppenheimer potential-energy surface. Based on the projected Hessians, we develop an equation for the energy as a function of a set of curvilinear coordinates where the degeneracy is preserved to second order (i.e., the conical intersection hyperline). The curvature of the potential-energy surface in these coordinates is the curvature of the conical intersection hyperline itself, and thus determines whether one has a minimum or saddle point on the hyperline. The equation used to classify optimized conical intersection points depends in a simple way on the first- and second-order degeneracy splittings calculated at these points. As an example, for fulvene, we show that the two optimized conical intersection points of C2v symmetry are saddle points on the intersection hyperline. Accordingly, there are further intersection points of lower energy, and one of C2 symmetry - presented here for the first time - is found to be the global minimum in the intersection space

Towards Direct Policy Search Reinforcement Learning for Robot Control

This paper proposes a high-level reinforcement learning (RL) control system for solving the action selection problem of an autonomous robot. Although the dominant approach, when using RL, has been to apply value function based algorithms, the system here detailed is characterized by the use of direct policy search methods. Rather than approximating a value function, these methodologies approximate a policy using an independent function approximator with its own parameters, trying to maximize the future expected reward. The policy based algorithm presented in this paper is used for learning the internal state/action mapping of a behavior. In this preliminary work, we demonstrate its feasibility with simulated experiments using the underwater robot GARBI in a target reaching task

Classification of textures seen from different distances and under varying illumination direction

Changes in the angle of illumination incident upon a 3D surface texture can significantly alter its appearance, implying variations in the image texture. These texture variations produce displacements of class members in the feature space, increasing the failure rates of texture classifiers. To avoid this problem, a model-based texture recognition system which classifies textures seen from different distances and under different illumination directions is presented in this paper. The system works on the basis of a surface model obtained by means of 4-source colour photometric stereo, used to generate 2D image textures under different illumination directions. The recognition system combines coocurrence matrices for feature extraction with a Nearest Neighbour classifier. Moreover, the recognition allows one to guess the approximate direction of the illumination used to capture the test image

Computing Distance Functions from Generalized Sources on Weighted Polyhedral Surfaces

We present algorithms for computing approximate distance functions and shortest paths from a generalized source (point, segment, polygonal chain or polygonal region) on a weighted non-convex polyhedral surface in which obstacles (represented by polygonal chains or polygons) are allowed. We also describe an algorithm for discretizing, by using graphics hardware capabilities, distance functions. Finally, we present algorithms for computing discrete k-order Voronoi diagrams

La Phrase dictée du jour, de la recherche à la pratique en classe

Cette communication se propose d’en présenter la première étape qui concerne des professeursstagiaires en formation initiale. Après avoir décrit l’activité, nous en analyserons la mise en pratique dans deux dispositifs de formation. Pour ce faire, nous avons élaboré des indicateurs de reconnaissance de la transformation de l’activité du professeur débutant (Garcia-Debanc, 2009; Cogis, Elalouf, Brinker, 2009). En conclusion, nous tenterons de préciser quelques-unes des conditions d’une appropriation potentiellement réussie

Selected configuration interaction with truncation energy error and application to the Ne atom

Selected configuration interaction (SCI) for atomic and molecular electronic structure calculations is reformulated in a general framework encompassing all CI methods. The linked cluster expansion is used as an intermediate device to approximate CI coefficients BK of disconnected configurations (those that can be expressed as products of combinations of singly and doubly excited ones) in terms of CI coefficients of lower-excited configurations where each K is a linear combination of configuration-state-functions (CSFs) over all degenerate elements of K. Disconnected configurations up to sextuply excited ones are selected by Brown's energy formula, ΔEK=(E-HKK)BK2/(1-BK2), with BK determined from coefficients of singly and doubly excited configurations. The truncation energy error from disconnected configurations, Δdis, is approximated by the sum of ΔEKS of all discarded Ks. The remaining (connected) configurations are selected by thresholds based on natural orbital concepts. Given a model CI space M, a usual upper bound ES is computed by CI in a selected space S, and EM=E S+ΔEdis+δE, where δE is a residual error which can be calculated by well-defined sensitivity analyses. An SCI calculation on Ne ground state featuring 1077 orbitals is presented. Convergence to within near spectroscopic accuracy (0.5 cm-1) is achieved in a model space M of 1.4× 109 CSFs (1.1 × 1012 determinants) containing up to quadruply excited CSFs. Accurate energy contributions of quintuples and sextuples in a model space of 6.5 × 1012 CSFs are obtained. The impact of SCI on various orbital methods is discussed. Since ΔEdis can readily be calculated for very large basis sets without the need of a CI calculation, it can be used to estimate the orbital basis incompleteness error. A method for precise and efficient evaluation of ES is taken up in a companion paper

Select-divide-and-conquer method for large-scale configuration interaction

A select-divide-and-conquer variational method to approximate configuration interaction (CI) is presented. Given an orthonormal set made up of occupied orbitals (Hartree-Fock or similar) and suitable correlation orbitals (natural or localized orbitals), a large N-electron target space S is split into subspaces S0,S1,S2,...,SR. S0, of dimension d0, contains all configurations K with attributes (energy contributions, etc.) above thresholds T0={T0egy, T0etc.}; the CI coefficients in S0 remain always free to vary. S1 accommodates KS with attributes above T1≤T0. An eigenproblem of dimension d0+d1 for S0+S 1 is solved first, after which the last d1 rows and columns are contracted into a single row and column, thus freezing the last d1 CI coefficients hereinafter. The process is repeated with successive Sj(j≥2) chosen so that corresponding CI matrices fit random access memory (RAM). Davidson's eigensolver is used R times. The final energy eigenvalue (lowest or excited one) is always above the corresponding exact eigenvalue in S. Threshold values {Tj;j=0, 1, 2,...,R} regulate accuracy; for large-dimensional S, high accuracy requires S 0+S1 to be solved outside RAM. From there on, however, usually a few Davidson iterations in RAM are needed for each step, so that Hamiltonian matrix-element evaluation becomes rate determining. One μhartree accuracy is achieved for an eigenproblem of order 24 × 106, involving 1.2 × 1012 nonzero matrix elements, and 8.4×109 Slater determinants

La relació entre el valor N30 de L'SPT i la resistència a la compressió simple

The unconfined compression strength is a geotechnical parameter frequently used to determine the bearing capacity of foundations on clayey soils. Its value can be obtained from the unconfined compression test and, among several in situ tests, the standard penetration test (SPT). However, a comparison between the values of such a strength determined by both tests in CL, CL-ML and CH soils shows that it does not exist an approximate relationship. In any case it is remarkable that values of the test conducted in the laboratory fit between the lower and the higher ones calculated from the standard penetration number. This is very important for those geotechnical reports in which the unconfined compression strength is only based on the SPT. In this way, if the lower value is taken to evaluate the ultimate soilbearing capacity the result will not be very accurate but it will probably be by the side of safety

Visibility and proximity on triangulated surfaces

En aquesta tesi es solucionen problemes de visibilitat i proximitat sobre superfícies triangulades considerant elements generalitzats. Com a elements generalitzats considerem: punts, segments, poligonals i polígons. Les estrategies que proposem utilitzen algoritmes de geometria computacional i hardware gràfic. Comencem tractant els problemes de visibilitat sobre models de terrenys triangulats considerant un conjunt d'elements de visió generalitzats. Es presenten dos mètodes per obtenir, de forma aproximada, mapes de multi-visibilitat. Un mapa de multi-visibilitat és la subdivisió del domini del terreny que codifica la visibilitat d'acord amb diferents criteris. El primer mètode, de difícil implementació, utilitza informació de visibilitat exacte per reconstruir de forma aproximada el mapa de multi-visibilitat. El segon, que va acompanyat de resultats d'implementació, obté informació de visibilitat aproximada per calcular i visualitzar mapes de multi-visibilitat discrets mitjançant hardware gràfic. Com a aplicacions es resolen problemes de multi-visibilitat entre regions i es responen preguntes sobre la multi-visibilitat d'un punt o d'una regió. A continuació tractem els problemes de proximitat sobre superfícies polièdriques triangulades considerant seus generalitzades. Es presenten dos mètodes, amb resultats d'implementació, per calcular distàncies des de seus generalitzades sobre superfícies polièdriques on hi poden haver obstacles generalitzats. El primer mètode calcula, de forma exacte, les distàncies definides pels camins més curts des de les seus als punts del poliedre. El segon mètode calcula, de forma aproximada, distàncies considerant els camins més curts sobre superfícies polièdriques amb pesos. Com a aplicacions, es calculen diagrames de Voronoi d'ordre k, i es resolen, de forma aproximada, alguns problemes de localització de serveis. També es proporciona un estudi teòric sobre la complexitat dels diagrames de Voronoi d'ordre k d'un conjunt de seus generalitzades en un poliedre sense pesos.

L'obra filològica d'Antoni de Bastero i Lledó. Edició de la Història de la llengua catalana

S'estudia l'obra filològica d' Antoni de Bastero i Lledó (1675-1737), des d'una perspectiva de conjunt, per tal de concretar I'activitat d'aquest estudiós en els camps de la lingüística, la filologia o la crítica literària, i fer-ne una valoració adequada als coneixements actuals sobre I'exercici d'aquestes disciplines durant la primera meitat del segle XVIII. La tesi inclou un estudi biogràfic, absolutament necessari per establir moltes de les circumstancies vitals del canonge Bastero, que ens resultaven obscures i que són decisives per explicar el propi interès per la filologia, les relacions amb determinats cercles acadèmics, la datació aproximada dels diversos projectes iniciats, la interpretació correcta de la seva activitat. S'inclou, així mateix, un catàleg exhaustiu de tots els manuscrits conservats d'Antoni de Bastero i que tenen alguna relació amb el seu treball filològic. En total es tenen en compte 69 volums manuscrits, actualment escampats per diversos arxius i biblioteques de Barcelona i Girona, alguns dels quals eren fins ara desconeguts. D'aquests 69 volums, 48 contenen pròpiament obres de Bastero o altres materials publicables, i la resta són materials de treball. En conseqüència, l' obra filològica del canonge es pot concretar en: la producció d'una gramàtica italiana i d'una gramàtica francesa, en català, que va deixar inacabades; la realització de La Crusca provenzale, un magne diccionari etimològic i d'autoritats que recull una gran quantitat d'hipotètics provençalismes italians -només es va publicar el primer volum d'aquesta obra a Roma, l'any 1724, però n'he localitzat pràcticament tot el contingut; l'elaboració d'una extensa antologia de poesies trobadoresques, copiades amb gran rigor d'alguns còdexs de la Biblioteca Vaticana; el plantejament d'una Història de llengua catalana, que havia de ser una gran compilació dels mèrits i les excel·lències d'aquesta llengua -que l'autor identifica amb la provençal- i la seva literatura, i que es va poder desenvolupar nomes de forma parcial. Precisament, la part central de la tesi l'ocupa l'estudi particular i l'edició crítica de les parts redactades d'aquesta obra, que suposa la concreció de la particular percepció lingüística i literària que Bastero havia anat perfilant al llarg dels seus anys d'estudi. Es tracta d'una edició molt complexa, perquè l'obra ens ha arribat només en un esborrany, que presenta múltiples correccions i esmenes i evidencia diferents estadis redaccionals; els manuscrits inclouen, així mateix, nombrosos papers amb anotacions o fragments que, o no pertanyen al cos de l'obra, o bé s'han hagut de resituar en el lloc que els correspon. EI resultat és, tanmateix, un text prou coherent que comprèn quasi la totalitat del Llibre primer -sobre l'origen, el naixement i els diversos noms de la llengua, i sobre el nom de Catalunya- i un capítol del Llibre tercer -sobre la primitiva extensió del català per tot Espanya. EI més rellevant d'aquesta obra és el fet que s'hi basteix una original teoria sobre la formació de les diverses llengües romàniques que té el català com a eix central -proposa la identificació del català provençal amb la lingua romana dels documents alt medievals, en una operació que s'avança quasi cent anys a François Raynouard, que propugnava això mateix, referint-se nomes al provençal, amb un àmplia aprovació de la comunitat científica del seu temps. Destaquen també un excepcional rigor històric i documental, i una notable sensibilitat vers l'oralitat lingüística, que és objecte d'algunes anotacions ben interessants. Tanquen la tesi un seguit d'annexos documentals on es transcriuen diversos documents relacionats amb els aspectes tractats anteriorment.

Onomàstica osorenca. Toponímia pretèrita i present dels termes municipal i parroquial d'Osor (La Selva)

La present tesi consisteix en un recull toponímic pretèrit i present del terme d'Osor, comarca de la Selva a les Guilleries. S'hi recullen prop de 3600 noms de lloc recollits oralment o en documentació antiga sobre els quals s'hi realitza una situació, un recull documental, un estudi gràfic i una hipòtesi etimològica. A més a més, s'hi presenta la situació geogràfica (quan és possible) dins l'espai treballat, un estudi del topònim Osor, una mostra dels estudis onomàstics de les comarques gironines, un estudi de genèrics introductors dels topònims de l'estudi, una classificació semàntica dels termes recollits i diversos mapes de situació. Evidentment, s'hi presenta l'etimologia seguida, unes conclusions finals i una àmplia bibliografia a més de dos annexos, un dels llinatges d'Osor en el decurs de la història i un altre amb els malnoms recollits per entrevista oral o documentació antiga.

Present i perspectives de futur dels programes socioeducatius en medi obert a les comarques gironines: una avaluació proximada

La tesi "Present i perspectives de futur dels programes socioeducatius en medi obert a les comarques gironines: una avaluació aproximada", està estructurada en tres apartats d'extensió desigual. Primer el marc teòric conformat per sis capítols. Segon el marc metodològic director de la recerca. I finalment les conclusions, constituïdes en tres seccions on les dues primeres fan referència als resultats de l'anàlisi de les aportacions del treball de camp, mentre que la tercera explicita els resultats i constatacions finals de la tesi.

El benestar psicològic en l'adolescència: la perspectiva de les ciències de la complexitat

El benestar psicològic, entès com la vessant psicològica que forma part del concepte més ampli de qualitat de vida, constitueix un àmbit d'estudi en expansió. Tot i tenir un passat més breu en comparació amb d'altres constructes psicosocials, cada vegada investigadors de les més diverses disciplines s'afegeixen a la llista d'estudiosos que fan del benestar psicològic un dels seus objectes d'investigació. Amb tot, l'estudi del benestar psicològic en l'adolescència constitueix probablement un dels àmbits en els quals la necessitat de seguir avançant es fa més evident. El seu estudi en subjectes adolescents té, a més, un doble interès. Per una part, els canvis i transicions que nois i noies experimenten durant l'adolescència comporten amb freqüència que sigui un període estressant per a molts d'ells/es, amb implicacions importants per al seu benestar psicològic. Aprofundir en el seu coneixement durant aquest període té un interès més enllà de l'estrictament científic i permet el disseny de programes de prevenció més ajustats a les problemàtiques que els/les adolescents puguin estar experimentant. L'exploració dels elements del benestar psicològic constitueix una de les estratègies d'aproximació al seu estudi. En aquesta tesi doctoral s'han seleccionat alguns dels elements que de la literatura científica es desprèn que tenen una connexió més estreta amb el benestar psicològic i que són la satisfacció amb la vida globalment i amb àmbits específics de la vida, l'autoestima, el suport social percebut, la percepció de control i els valors. Tot i que existeix un consens elevat en considerar que l'exploració d'aquests elements és de primera necessitat de cares a aprofundir en l'estructura del benestar psicològic, generalment han estat estudiats de forma separada, malgrat no falten intents d'integració teòrica. Les limitacions més importants que presenta l'estudi del benestar psicològic i el dels seus elements en l'actualitat són bàsicament de caràcter epistemològic i fan referència a la dificultat de trobar visions comunes (tant a nivell de definicions com de teories explicatives) compartides per una majoria d'investigadors socials. Aquestes limitacions justifiquen l'interès per dirigir l'atenció vers un altre tipus d'explicacions del benestar psicològic, qualitativament diferents a les disponibles, que no es refugiïn ni en reduccionismes ni en explicacions causals rígides. Les teories de la complexitat suposen una alternativa productiva en aquest sentit ja que aquelles característiques a través de les quals la complexitat ve donada (borrositat de límits, punts de catàstrofe, dimensions fractals, processos caòtics i no lineals), són, en definitiva, les mateixes propietats que caracteritzen als fenòmens psicosocials. I això inclou el de benestar psicològic. Les dades de les que disposem, obtingudes mitjançant un estudi transversal, impedeixen fer una aproximació al benestar psicològic des de totes les propietats de la complexitat esmentades a excepció de la característica de la no linealitat. L'objectiu general de la tesi ha estat el de construir un model de benestar psicològic a partir de les dades obtingudes que permetés: 1) Evidenciar relacions entre variables que fins aquests moments no han pogut ser massa explorades, 2) Contemplar aquestes relacions més enllà de la seva unidireccionalitat, i 3) Entendre el benestar psicològic en l'adolescència des d'un punt de vista més integrador i holista i, consegüentment, oferir una manera més comprehensiva d'aproximar-se a aquest fenomen. Aquesta tesi ha de ser entesa com un primer pas, fonamentalment metodològic, per l'elaboració futura de conceptualizacions sobre el benestar psicològic en l'adolescència que es basin en els principis que ens aporten les ciències de la complexitat. Malgrat els resultats obtinguts no estan absents de limitacions, obren noves perspectives d'anàlisi del benestar psicològic en l'adolescència.

Un estudio etnográfico sobre usuarios/as de heroína. Conocimiento psicosocial y práctica reflexiva

Presentación El siguiente trabajo es un ejercicio reflexivo sobre una experiencia própia: Un estudio etnográfico sobre usuarios/as de heroína realizado en un barrio de Barcelona entre los años 1993-1995. Todo empezó dos años después de escribir la etnografía, al decidir regresar al barrio para explicar a los participantes el trabajo que había escrito sobre aquella experiencia. En esos momentos tomé la decisión de realizar un estudio sobre el papel que yo había desarrollado durante todo el trabajo de campo con esas personas, cómo me había influido, como les había influido, por qué había relatado aquellas cosas sobre sus vidas, qué efectos provocaba lo escrito a posibles lectores, etc. Y así surgió el tema de esta tesis. Objetivos En este trabajo me propongo ponerme al lado de los datos que en otro momento recogí y comenzar a analizarlos a la luz de potentes teorías y presupuestos -principalmente de la psicología social-. He tratado de "hacer" un ejercicio reflexivo sobre un caso, una experiencia científica en la qué "yo" he estado implicada. El objetivo fundamental es mostrar en qué consiste una práctica reflexiva, entendida como una forma de hacer "objetivable" el conocimiento (aspecto que correspondería a una dimensión racional- epistemológica), y también entendida como una forma de encontrar resistencias a discursos dominantes en el conocimiento psicosocial (aspecto que correspondería a una dimensión ético-política). Como objetivos específicos me propongo: -señalar un procedimiento que permita conectar al auditorio o lectores con la experiencia particular de la investigadora -cuestionar mi propia práctica de producción de conocimiento psicosocial -explorar los "yoes" o subjetividades en el proceso investigador Marco teórico y metodología He definido un tipo de práctica reflexiva tomando una perspectiva construccionista crítica localizada en la posición del observador/a, donde el valor de la reflexividad, más que instrumento de comprensión o validación, es un instrumento de cambio. Procederé a través del análisis del discurso de mi práctica social o experiencia de conocimiento científico, junto con conceptos provenientes de la etnometodología, interaccionismo simbólico y fenomenología. Los métodos han sido la etnografía de laboratorio (basada en Latour y Woolgar), la descripción etnometodológica (de Potter) y el análisis discursivo (los repertorios interpretativos de Potter y Wheterell, y las formaciones discursivas basadas en Foucault). Mis datos han sido 44 entrevistas en profundidad, a modo de conversaciones con los usuarios y no usuarios significativos en aquel contexto de observación. Casi todas transcritas. Y 5 libretas con notas de campo tomadas durante la observación participante en las que constaban multitud de comentarios personales, interpretaciones sobre el tema y situaciones compartidas entre ellos y "yo". Resultados y discusión Como resultado del análisis del discurso he encontrado la confrontación entre formaciones discursivas "naturalizadoras" y "sociologizadoras", acentuando mucho más en mis datos la formación "sociologizadora" (cuestiones legales, relacionales, culturales, etc.), que "naturalizadora" (cuestiones sensoriales, farmacológicas, psicológicas, fisiológicas, etc.). Este dialogismo entre unas y otras formaciones permite tomar consciencia de formas de acción que no son demasiado relevantes en un contexto sociohistórico dado, pero si se activan o "actúan" en contextos específicos de acción donde las personas tienen capacidad agéntica. La observación participante ha sido fundamental para contextualizar los datos, construidos en su "contexto cotidiano de acción", además, ha dado sentido a las conversaciones y a las entrevistas en profundidad. El procedimiento empleado, conforma un tipo de modelo que pone en relación di versos constructos: contexto discursivo (o interactivo), posición discursiva y formaciones discursivas, y que se articulan alrededor de un espacio intersubjetivo "yo-alter" que es lo que constituye la unidad básica donde opera la reflexividad. Se construyen distintos "yoes" en cada momento y trayectoria de la experiencia relatada. Al introducir el "yo" en el trabajo de campo (tanto el mío como el de alter), provoco una problematización de los datos y a la vez, me obliga a reconceptualizar ese "yo" o "yoes" y resignificar esos datos. Se me plantea mi condición de liminalidad (o de otra manera, decir que no estoy ni dentro ni fuera de la cultura que estudio), donde los contornos de mi identidad se subvierten y donde la condición de ser, es que ninguna subjetividad es permanente. Mi aproximación a "alter" supone una continuidad entre "yo-alter" y en ocasiones resulta amenazante, en la medida en que se confunden los límites y se difuminan con el fin de conseguir una "experiencia empática". Pero no se trataría tanto de una fusión "yo-alter", de manera que sería una dilución de ambos, sino de una permeabilidad de los límites, originando así, un espacio potencial para crear, para conectar y donde se resuelva la tendencia a controlar o contener un "yo" al otro. Conclusiones La posibilidad de la práctica reflexiva está en el espacio intersubjetivo "yo-alter". Mi intento de conexión con "alter" me constituye temporalmente en mediadora: "estar en medio de". Esto significa: l-socavar los cimientos y el orden construido, a través de buscar fisuras, inconsistencias y contradicciones en los discursos manejados, a partir de las cuales hay potenciales trayectos que no se han producido, 2-incorporar diferentes voces o dialogismo en la historia que cuento y no un monólogo de la autora, sino una participación de alternativas posibles y espacios de enunciación, junto con las subjetividades emergentes. Para ello, dos condiciones son ineludibles: -la agentividad para subvertir lo establecido, las identidades -el recuperar contextos que sean potencialmente relevantes para actuar discursos. Considerar las subjetividades también es la manera de tener a "alter" presente. "Alter" se comprende en "mi" a través de un trayecto en el que se marcan las afinidades mutuas y no tanto las identidades, en el que "representar" a "alter" es trazar un trayecto de conocimiento local y situado (como apunta Haraway), pues sólo así es posible generar una praxis transformadora fiel a la parcialidad.

Modelling, control and supervision for a class of hybrid systems

The aim of this thesis is to narrow the gap between two different control techniques: the continuous control and the discrete event control techniques DES. This gap can be reduced by the study of Hybrid systems, and by interpreting as Hybrid systems the majority of large-scale systems. In particular, when looking deeply into a process, it is often possible to identify interaction between discrete and continuous signals. Hybrid systems are systems that have both continuous, and discrete signals. Continuous signals are generally supposed continuous and differentiable in time, since discrete signals are neither continuous nor differentiable in time due to their abrupt changes in time. Continuous signals often represent the measure of natural physical magnitudes such as temperature, pressure etc. The discrete signals are normally artificial signals, operated by human artefacts as current, voltage, light etc. Typical processes modelled as Hybrid systems are production systems, chemical process, or continuos production when time and continuous measures interacts with the transport, and stock inventory system. Complex systems as manufacturing lines are hybrid in a global sense. They can be decomposed into several subsystems, and their links. Another motivation for the study of Hybrid systems is the tools developed by other research domains. These tools benefit from the use of temporal logic for the analysis of several properties of Hybrid systems model, and use it to design systems and controllers, which satisfies physical or imposed restrictions. This thesis is focused in particular types of systems with discrete and continuous signals in interaction. That can be modelled hard non-linealities, such as hysteresis, jumps in the state, limit cycles, etc. and their possible non-deterministic future behaviour expressed by an interpretable model description. The Hybrid systems treated in this work are systems with several discrete states, always less than thirty states (it can arrive to NP hard problem), and continuous dynamics evolving with expression: with Ki ¡ Rn constant vectors or matrices for X components vector. In several states the continuous evolution can be several of them Ki = 0. In this formulation, the mathematics can express Time invariant linear system. By the use of this expression for a local part, the combination of several local linear models is possible to represent non-linear systems. And with the interaction with discrete events of the system the model can compose non-linear Hybrid systems. Especially multistage processes with high continuous dynamics are well represented by the proposed methodology. Sate vectors with more than two components, as third order models or higher is well approximated by the proposed approximation. Flexible belt transmission, chemical reactions with initial start-up and mobile robots with important friction are several physical systems, which profits from the benefits of proposed methodology (accuracy). The motivation of this thesis is to obtain a solution that can control and drive the Hybrid systems from the origin or starting point to the goal. How to obtain this solution, and which is the best solution in terms of one cost function subject to the physical restrictions and control actions is analysed. Hybrid systems that have several possible states, different ways to drive the system to the goal and different continuous control signals are problems that motivate this research. The requirements of the system on which we work is: a model that can represent the behaviour of the non-linear systems, and that possibilities the prediction of possible future behaviour for the model, in order to apply an supervisor which decides the optimal and secure action to drive the system toward the goal. Specific problems can be determined by the use of this kind of hybrid models are: - The unity of order. - Control the system along a reachable path. - Control the system in a safe path. - Optimise the cost function. - Modularity of control The proposed model solves the specified problems in the switching models problem, the initial condition calculus and the unity of the order models. Continuous and discrete phenomena are represented in Linear hybrid models, defined with defined eighth-tuple parameters to model different types of hybrid phenomena. Applying a transformation over the state vector : for LTI system we obtain from a two-dimensional SS a single parameter, alpha, which still maintains the dynamical information. Combining this parameter with the system output, a complete description of the system is obtained in a form of a graph in polar representation. Using Tagaki-Sugeno type III is a fuzzy model which include linear time invariant LTI models for each local model, the fuzzyfication of different LTI local model gives as a result a non-linear time invariant model. In our case the output and the alpha measure govern the membership function. Hybrid systems control is a huge task, the processes need to be guided from the Starting point to the desired End point, passing a through of different specific states and points in the trajectory. The system can be structured in different levels of abstraction and the control in three layers for the Hybrid systems from planning the process to produce the actions, these are the planning, the process and control layer. In this case the algorithms will be applied to robotics ¡V a domain where improvements are well accepted ¡V it is expected to find a simple repetitive processes for which the extra effort in complexity can be compensated by some cost reductions. It may be also interesting to implement some control optimisation to processes such as fuel injection, DC-DC converters etc. In order to apply the RW theory of discrete event systems on a Hybrid system, we must abstract the continuous signals and to project the events generated for these signals, to obtain new sets of observable and controllable events. Ramadge & Wonham¡¦s theory along with the TCT software give a Controllable Sublanguage of the legal language generated for a Discrete Event System (DES). Continuous abstraction transforms predicates over continuous variables into controllable or uncontrollable events, and modifies the set of uncontrollable, controllable observable and unobservable events. Continuous signals produce into the system virtual events, when this crosses the bound limits. If this event is deterministic, they can be projected. It is necessary to determine the controllability of this event, in order to assign this to the corresponding set, , controllable, uncontrollable, observable and unobservable set of events. Find optimal trajectories in order to minimise some cost function is the goal of the modelling procedure. Mathematical model for the system allows the user to apply mathematical techniques over this expression. These possibilities are, to minimise a specific cost function, to obtain optimal controllers and to approximate a specific trajectory. The combination of the Dynamic Programming with Bellman Principle of optimality, give us the procedure to solve the minimum time trajectory for Hybrid systems. The problem is greater when there exists interaction between adjacent states. In Hybrid systems the problem is to determine the partial set points to be applied at the local models. Optimal controller can be implemented in each local model in order to assure the minimisation of the local costs. The solution of this problem needs to give us the trajectory to follow the system. Trajectory marked by a set of set points to force the system to passing over them. Several ways are possible to drive the system from the Starting point Xi to the End point Xf. Different ways are interesting in: dynamic sense, minimum states, approximation at set points, etc. These ways need to be safe and viable and RchW. And only one of them must to be applied, normally the best, which minimises the proposed cost function. A Reachable Way, this means the controllable way and safe, will be evaluated in order to obtain which one minimises the cost function. Contribution of this work is a complete framework to work with the majority Hybrid systems, the procedures to model, control and supervise are defined and explained and its use is demonstrated. Also explained is the procedure to model the systems to be analysed for automatic verification. Great improvements were obtained by using this methodology in comparison to using other piecewise linear approximations. It is demonstrated in particular cases this methodology can provide best approximation. The most important contribution of this work, is the Alpha approximation for non-linear systems with high dynamics While this kind of process is not typical, but in this case the Alpha approximation is the best linear approximation to use, and give a compact representation.