Error estimates for approximate approximations on compact intervals

The aim of this paper is the investigation of the error which results from the method of approximate approximations applied to functions defined on compact in- tervals, only. This method, which is based on an approximate partition of unity, was introduced by V. Mazya in 1991 and has mainly been used for functions defied on the whole space up to now. For the treatment of differential equations and boundary integral equations, however, an efficient approximation procedure on compact intervals is needed. In the present paper we apply the method of approximate approximations to functions which are defined on compact intervals. In contrast to the whole space case here a truncation error has to be controlled in addition. For the resulting total error pointwise estimates and L1-estimates are given, where all the constants are determined explicitly.

Die Privatisierung der Öffentlichen Personennahverkehrs (ÖPNV) und die damit verbundene Problematik des marktwirtschaftlichen und interventionistischen Dualismus am Beispiel des Schienenpersonennahverkehrs (SPNV) in der Fläche

Der SPNV als Bestandteil des ÖPNV bildet einen integralen Bestandteil der öffentlichen Daseinsvorsorge. Insbesondere Flächenregionen abseits urbaner Ballungszentren erhalten durch den SPNV sowohl ökonomisch als auch soziokulturell wichtige Impulse, so dass die Zukunftsfähigkeit dieser Verkehrsart durch geeignete Gestaltungsmaßnahmen zu sichern ist. ZIELE: Die Arbeit verfolgte das Ziel, derartige Gestaltungsmaßnahmen sowohl grundlagentheoretisch herzuleiten als auch in ihrer konkreten Ausformung für die verkehrswirtschaftliche Praxis zu beschreiben. Abgezielt wurde insofern auf strukturelle Konzepte als auch praktische Einzelmaßnahmen. Der Schwerpunkt der Analyse erstreckte sich dabei auf Deutschland, wobei jedoch auch verkehrsbezogene Privatisierungserfahrungen aus anderen europäischen Staaten und den USA berücksichtigt wurden. METHODEN: Ausgewertet wurden deutschsprachige als auch internationale Literatur primär verkehrswissenschaftlicher Ausrichtung sowie Fallbeispiele verkehrswirtschaftlicher Privatisierung. Darüber hinaus wurden Entscheidungsträger der Deutschen Bahn (DB) und DB-externe Eisenbahnexperten interviewt. Eine Gruppe 5 DB-interner und 5 DB-externer Probanden nahm zusätzlich an einer standardisierten Erhebung zur Einschätzung struktureller und spezifischer Gestaltungsmaßnahmen für den SPNV teil. ERGEBNISSE: In struktureller Hinsicht ist die Eigentums- und Verfügungsregelung für das gesamte deutsche Bahnwesen und den SPNV kritisch zu bewerten, da der dominante Eisenbahninfrastrukturbetreiber (EIU) in Form der DB Netz AG und die das Netz nutzenden Eisenbahnverkehrs-Unternehmen (EVUs, nach wie vor zumeist DB-Bahnen) innerhalb der DB-Holding konfundiert sind. Hieraus ergeben sich Diskriminierungspotenziale vor allem gegenüber DB-externen EVUs. Diese Situation entspricht keiner echten Netz-Betriebs-Trennung, die wettbewerbstheoretisch sinnvoll wäre und nachhaltige Konkurrenz verschiedener EVUs ermöglichen würde. Die seitens der DB zur Festigung bestehender Strukturen vertretene Argumentation, wonach Netz und Betrieb eine untrennbare Einheit (Synergie) bilden sollten, ist weder wettbewerbstheoretisch noch auf der Ebene technischer Aspekte akzeptabel. Vielmehr werden durch die gegenwärtige Verquickung der als Quasimonopol fungierenden Netzebene mit der Ebene der EVU-Leistungen Innovationspotenziale eingeschränkt. Abgesehen von der grundsätzlichen Notwendigkeit einer konsequenten Netz-Betriebs-Trennung und dezentraler Strukturen sind Ausschreibungen (faktisch öffentliches Verfahren) für den Betrieb der SPNV-Strecken als Handlungsansatz zu berücksichtigen. Wettbewerb kann auf diese Weise gleichsam an der Quelle einer EVU-Leistung ansetzen, wobei politische und administrative Widerstände gegen dieses Konzept derzeit noch unverkennbar sind. Hinsichtlich infrastruktureller Maßnahmen für den SPNV ist insbesondere das sog. "Betreibermodell" sinnvoll, bei dem sich das übernehmende EIU im Sinne seiner Kernkompetenzen auf den Betrieb konzentriert. Die Verantwortung für bauliche Maßnahmen sowie die Instandhaltung der Strecken liegt beim Betreiber, welcher derartige Leistungen am Markt einkaufen kann (Kostensenkungspotenzial). Bei Abgabeplanungen der DB Netz AG für eine Strecke ist mithin für die Auswahl eines Betreibers auf den genannten Ausschreibungsmodus zurückzugreifen. Als kostensenkende Einzelmaßnahmen zur Zukunftssicherung des SPNV werden abschließend insbesondere die Optimierung des Fahrzeugumlaufes sowie der Einsatz von Triebwagen anstatt lokbespannter Züge und die weiter forcierte Ausrichtung auf die kundenorientierte Attraktivitätssteigerung des SPNV empfohlen. SCHLUSSFOLGERUNGEN: Handlungsansätze für eine langfristige Sicherung des SPNV können nicht aus der Realisierung von Extrempositionen (staatlicher Interventionismus versus Liberalismus) resultieren, sondern nur aus einem pragmatischen Ausgleich zwischen beiden Polen. Dabei erscheint eine Verschiebung hin zum marktwirtschaftlichen Pol sinnvoll, um durch die Nutzung wettbewerbsbezogener Impulse Kostensenkungen und Effizienzsteigerungen für den SPNV herbeizuführen.

Quasi-Interpolation von Funktionen und Anwendungen auf Potentialprobleme

Ausgangspunkt der Dissertation ist ein von V. Maz'ya entwickeltes Verfahren, eine gegebene Funktion f : Rn ! R durch eine Linearkombination fh radialer glatter exponentiell fallender Basisfunktionen zu approximieren, die im Gegensatz zu den Splines lediglich eine näherungsweise Zerlegung der Eins bilden und somit ein für h ! 0 nicht konvergentes Verfahren definieren. Dieses Verfahren wurde unter dem Namen Approximate Approximations bekannt. Es zeigt sich jedoch, dass diese fehlende Konvergenz für die Praxis nicht relevant ist, da der Fehler zwischen f und der Approximation fh über gewisse Parameter unterhalb der Maschinengenauigkeit heutiger Rechner eingestellt werden kann. Darüber hinaus besitzt das Verfahren große Vorteile bei der numerischen Lösung von Cauchy-Problemen der Form Lu = f mit einem geeigneten linearen partiellen Differentialoperator L im Rn. Approximiert man die rechte Seite f durch fh, so lassen sich in vielen Fällen explizite Formeln für die entsprechenden approximativen Volumenpotentiale uh angeben, die nur noch eine eindimensionale Integration (z.B. die Errorfunktion) enthalten. Zur numerischen Lösung von Randwertproblemen ist das von Maz'ya entwickelte Verfahren bisher noch nicht genutzt worden, mit Ausnahme heuristischer bzw. experimenteller Betrachtungen zur sogenannten Randpunktmethode. Hier setzt die Dissertation ein. Auf der Grundlage radialer Basisfunktionen wird ein neues Approximationsverfahren entwickelt, welches die Vorzüge der von Maz'ya für Cauchy-Probleme entwickelten Methode auf die numerische Lösung von Randwertproblemen überträgt. Dabei werden stellvertretend das innere Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung und für die Stokes-Gleichungen im R2 behandelt, wobei für jeden der einzelnen Approximationsschritte Konvergenzuntersuchungen durchgeführt und Fehlerabschätzungen angegeben werden.

Approximate approximations for the Poisson and the Stokes equations

The method of approximate approximations is based on generating functions representing an approximate partition of the unity, only. In the present paper this method is used for the numerical solution of the Poisson equation and the Stokes system in R^n (n = 2, 3). The corresponding approximate volume potentials will be computed explicitly in these cases, containing a one-dimensional integral, only. Numerical simulations show the efficiency of the method and confirm the expected convergence of essentially second order, depending on the smoothness of the data.