Orthogonal polynomials and recurrence equations, operator equations and factorization

This article surveys the classical orthogonal polynomial systems of the Hahn class, which are solutions of second-order differential, difference or q-difference equations. Orthogonal families satisfy three-term recurrence equations. Example applications of an algorithm to determine whether a three-term recurrence equation has solutions in the Hahn class - implemented in the computer algebra system Maple - are given. Modifications of these families, in particular associated orthogonal systems, satisfy fourth-order operator equations. A factorization of these equations leads to a solution basis.

Numerical Simulation of Flows at Low Mach Numbers with Heat Sources

This work is concerned with finite volume methods for flows at low mach numbers which are under buoyancy and heat sources. As a particular application, fires in car tunnels will be considered. To extend the scheme for compressible flow into the low Mach number regime, a preconditioning technique is used and a stability result on this is proven. The source terms for gravity and heat are incorporated using operator splitting and the resulting method is analyzed.

Contribution of the exact Breit operator plus the electron state-dependent screening to the multiplet and fine structure of muon-electron atoms

We investigate for very general cases the multiplet and fine structure splitting of muonelectron atoms arising from the coupling of the electron and muon angular momenta, including the effect of the Breit operator plus the electron state-dependent screening. Although many conditions have to be fulfilled simultaneously to observe these effeets, it should be possible to measure them in the 6h- 5g muonic transition in the Sn region.

On Nonlinear Preconditioners in Newton-Krylov-Methods for Unsteady Flows

The application of nonlinear schemes like dual time stepping as preconditioners in matrix-free Newton-Krylov-solvers is considered and analyzed. We provide a novel formulation of the left preconditioned operator that says it is in fact linear in the matrix-free sense, but changes the Newton scheme. This allows to get some insight in the convergence properties of these schemes which are demonstrated through numerical results.

A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography

Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert. Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen deutlich die Notwendigkeit, den Einfluss von Topographie sowie die Behandlung von Nass/Trockenübergängen im Verfahren zu berücksichtigen. In der vorliegenden Dissertation wird ein, in Gebieten mit hinreichender Wasserhöhe, hochgenaues Finite-Volumen-Verfahren zur numerischen Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung aus gegebenen Anfangs- und Randbedingungen auf einem unstrukturierten Gitter vorgestellt, welches in der Lage ist, den Einfluss topographischer Quellterme auf die Strömung zu berücksichtigen, sowie in sogenannten \glqq lake at rest\grqq-stationären Zuständen diesen Einfluss mit den numerischen Flüssen exakt auszubalancieren. Basis des Verfahrens ist ein Finite-Volumen-Ansatz erster Ordnung, welcher durch eine WENO Rekonstruktion unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und eine sogenannte Space Time Expansion erweitert wird mit dem Ziel, ein Verfahren beliebig hoher Ordnung zu erhalten. Die im Verfahren auftretenden Riemannprobleme werden mit dem Riemannlöser von Chinnayya, LeRoux und Seguin von 1999 gelöst, welcher die Einflüsse der Topographie auf den Strömungsverlauf mit berücksichtigt. Es wird in der Arbeit bewiesen, dass die Koeffizienten der durch das WENO-Verfahren berechneten Rekonstruktionspolynome die räumlichen Ableitungen der zu rekonstruierenden Funktion mit einem zur Verfahrensordnung passenden Genauigkeitsgrad approximieren. Ebenso wird bewiesen, dass die Koeffizienten des aus der Space Time Expansion resultierenden Polynoms die räumlichen und zeitlichen Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems approximieren. Darüber hinaus wird die wohlbalanciertheit des Verfahrens für beliebig hohe numerische Ordnung bewiesen. Für die Behandlung von Nass/Trockenübergangen wird eine Methode zur Ordnungsreduktion abhängig von Wasserhöhe und Zellgröße vorgeschlagen. Dies ist notwendig, um in der Rechnung negative Werte für die Wasserhöhe, welche als Folge von Oszillationen des Raum-Zeit-Polynoms auftreten können, zu vermeiden. Numerische Ergebnisse die die theoretische Verfahrensordnung bestätigen werden ebenso präsentiert wie Beispiele, welche die hervorragenden Eigenschaften des Gesamtverfahrens in der Berechnung herausfordernder Probleme demonstrieren.

Comparison of different methods in estimating potential evapotranspiration at Muda Irrigation Scheme of Malaysia

Evapotranspiration (ET) is a complex process in the hydrological cycle that influences the quantity of runoff and thus the irrigation water requirements. Numerous methods have been developed to estimate potential evapotranspiration (PET). Unfortunately, most of the reliable PET methods are parameter rich models and therefore, not feasible for application in data scarce regions. On the other hand, accuracy and reliability of simple PET models vary widely according to regional climate conditions. The objective of the present study was to evaluate the performance of three temperature-based and three radiation-based simple ET methods in estimating historical ET and projecting future ET at Muda Irrigation Scheme at Kedah, Malaysia. The performance was measured by comparing those methods with the parameter intensive Penman-Monteith Method. It was found that radiation based methods gave better performance compared to temperature-based methods in estimation of ET in the study area. Future ET simulated from projected climate data obtained through statistical downscaling technique also showed that radiation-based methods can project closer ET values to that projected by Penman-Monteith Method. It is expected that the study will guide in selecting suitable methods for estimating and projecting ET in accordance to availability of meteorological data.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.

A storage scheme for an automated archive

Presentation given at the Al-Azhar Engineering First Conference, AEC’89, Dec. 9-12 1989, Cairo, Egypt. The paper presented at AEC'89 suggests an infinite storage scheme divided into one volume which is online and an arbitrary number of off-line volumes arranged into a linear chain which hold records which haven't been accessed recently. The online volume holds the records in sorted order (e.g. as a B-tree) and contains shortest prefixes of keys of records already pushed offline. As new records enter, older ones are retired to the first volume which is going offline next. Statistical arguments are given for the rate at which an off-line volume needs to be fetched to reload a record which had been retired before. The rate depends on the distribution of access probabilities as a function of time. Applications are medical records, production records or other data which need to be kept for a long time for legal reasons.

Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind

Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.