Gröbnerbasen in Ore-Algebren

In dieser Arbeit werden grundlegende Algorithmen für Ore-Algebren in Mathematica realisiert. Dabei entsteht eine Plattform um die speziellen Beschränkungen und Möglichkeiten dieser Algebren insbesondere im Zusammenhang mit Gröbnerbasen an praktischen Beispielen auszuloten. Im Gegensatz zu den existierenden Paketen wird dabei explizit die Struktur der Ore-Algebra benutzt. Kandri-Rody und Weispfenning untersuchten 1990 Verallgemeinerungen von Gröbnerbasen auf Algebren ordnungserhaltender Art (``algebras of solvable type''). Diese verhalten sich so, dass Buchbergers Algorithmus stets eine Gröbnerbasis findet. Es wird ein Beispiel gezeigt, an dem klar wird, dass es mehr Ore-Algebren ordnungserhaltender Art gibt als die in der Literatur stets betrachteten Operator-Algebren. Für Ore-Algebren ordnungserhaltender Art werden Algorithmen zu Gröbnerbasen implementiert. Anschließend wird der Gröbner-Walk für Ore-Algebren untersucht. Der Gröbner-Walk im kommutativen Fall wird mit einem instruktiven Beispiel vorgestellt. Dann wird zum nichtkommutativen Fall übergegangen. Es wird gezeigt, dass die Eigenschaft ordnungserhaltender Art zu sein, auf der Strecke zwischen zwei Ordnungen erhalten bleibt. Eine leichte Modifikation des Walks für Ore-Algebren wird implementiert, die im Erfolgsfall die Basis konvertiert und ansonsten abbricht. Es werden Beispiele angegeben, in denen der modifizierte Walk funktioniert sowie ein Beispiel analysiert, in dem er versagt.

Faktorisierung in Schief-Polynomringen

In der Arbeit werden zunächst die wesentlichsten Fakten über Schiefpolynome wiederholt, der Fokus liegt dabei auf Shift- und q-Shift-Operatoren in Charakteristik Null. Alle für die Arithmetik mit diesen Objekten notwendigen Konzepte und Algorithmen finden sich im ersten Kapitel. Einige der zur Bestimmung von Lösungen notwendigen Daten können aus dem Newtonpolygon, einer den Operatoren zugeordneten geometrischen Figur, abgelesen werden. Die Herleitung dieser Zusammenhänge ist das Thema des zweiten Kapitels der Arbeit, wobei dies insbesondere im q-Shift-Fall in dieser Form neu ist. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Bestimmung polynomieller und rationaler Lösungen dieser Operatoren, dabei folgt es im Wesentlichen der Darstellung von Mark van Hoeij. Der für die Faktorisierung von (q-)Shift Operatoren interessanteste Fall sind die sogenannten (q-)hypergeometrischen Lösungen, die direkt zu Rechtsfaktoren erster Ordnung korrespondieren. Im vierten Kapitel wird der van Hoeij-Algorithmus vom Shift- auf den q-Shift-Fall übertragen. Außerdem wird eine deutliche Verbesserung des q-Petkovsek-Algorithmus mit Hilfe der Daten des Newtonpolygons hergeleitet. Das fünfte Kapitel widmet sich der Berechnung allgemeiner Faktoren, wozu zunächst der adjungierte Operator eingeführt wird, der die Berechnung von Linksfaktoren erlaubt. Dann wird ein Algorithmus zur Berechnung von Rechtsfaktoren beliebiger Ordnung dargestellt. Für die praktische Benutzung ist dies allerdings für höhere Ordnungen unpraktikabel. Bei fast allen vorgestellten Algorithmen tritt das Lösen linearer Gleichungssysteme über rationalen Funktionenkörpern als Zwischenschritt auf. Dies ist in den meisten Computeralgebrasystemen nicht befriedigend gelöst. Aus diesem Grund wird im letzten Kapitel ein auf Evaluation und Interpolation basierender Algorithmus zur Lösung dieses Problems vorgestellt, der in allen getesteten Systemen den Standard-Algorithmen deutlich überlegen ist. Alle Algorithmen der Arbeit sind in einem MuPAD-Package implementiert, das der Arbeit beiliegt und eine komfortable Handhabung der auftretenden Objekte erlaubt. Mit diesem Paket können in MuPAD nun viele Probleme gelöst werden, für die es vorher keine Funktionen gab.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.