Qualitative und quantitative Schwingungsmessung und -analyse mittels Digital-Shearografie

Speckle Pattern Shearing Interferometrie (Shearografie) ist eine speckle-interferometrische Messmethode und zeichnet sich durch die ganzflächige, berührungslose Arbeitsweise, hohe räumliche Auflösung und hohe Messempfindlichkeit aus. Diese Dissertation beinhaltet die neue bzw. weitere Entwicklung der Shearografie zur qualitativen Schwingungsbeobachtung und zur quantitativen Schwingungsmessung. Für die qualitative Schwingungsbeobachtung in Echtzeit werden die Optimierung des Zeitmittelungsverfahrens und die neue entwickelte Online-Charakterisierung von Streifenmustern mit statistischen Verfahren vorgestellt. Auf dieser Basis können sowohl eine genaue Fehlstellen-Detektion bei der zerstörungsfreien Materialprüfung als auch eine präzise Resonanzuntersuchung zeitsparend und vollautomatisch durchgeführt werden. Für die quantitative Schwingungsmessung wird eine sog. dynamische Phasenschiebe-Technik neu entwickelt, welche durch die Einführung eines synchron zum Objekt schwingenden Referenzspiegels realisiert wird. Mit dieser Technik ermöglicht das Zeitmittelungsverfahren die Amplituden und Phasen einer Objektschwingung quantitativ zu ermitteln. Auch eine Weiterentwicklung des stroboskopischen Verfahrens in Kombination mit zeitlicher Phasenverschiebung wird in der Arbeit präsentiert, womit der gesamte Prozess der Schwingungsmessung und -rekonstruktion beschleunigt und automatisch durchgeführt wird. Zur Bestimmung des Verschiebungsfeldes aus den gemessenen Amplituden und Phasen des Verformungsgradienten stellt diese Arbeit auch eine Weiterentwicklung des Summationsverfahrens vor. Das Verfahren zeichnet sich dadurch aus, dass die Genauigkeit des ermittelten Verschiebungsfelds unabhängig von der Sheargröße ist und gleichzeitig das praktische Problem - Unstetigkeit - gelöst wird. Eine quantitative Messung erfordert eine genaue Kalibrierung der gesamten Messkette. Ein auf dem Least-Square-Verfahren basierendes Kalibrierverfahren wird in der Arbeit zur Kalibrierung der statischen und dynamischen Phasenverschiebung vorgestellt. Auch die Ermittelung der Sheargröße mit Hilfe der 1D- bzw. 2D-Kreuz-Korrelation wird präsentiert. Zum Schluss wurde die gesamte Entwicklung durch eine Vergleichsmessung mit einem handelsüblichen Scanning-Laser-Doppler-Vibrometer experimentell verifiziert.

Nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden für lineare und quasilineare (monotone und nichtmonotone) Probleme

In dieser Arbeit werden nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden einerseits hinsichtlich der zu lösenden Problemklassen verallgemeinert und andererseits in bisher nicht untersuchten Kontexten betrachtet. Dabei stehen funktionalanalytische Untersuchungen zur Wohldefiniertheit, eindeutigen Lösbarkeit und Konvergenz im Vordergrund. Im ersten Teil werden lineare elliptische Dirichlet-Randwertprobleme behandelt, wobei neben Problemen mit dominantem Hauptteil auch solche mit singulärer Störung desselben, wie konvektions- oder reaktionsdominante Probleme zugelassen sind. Der zweite Teil befasst sich mit (gleichmäßig) monotonen koerziven quasilinearen elliptischen Dirichlet-Randwertproblemen. In beiden Fällen wird das Lipschitz-Gebiet in endlich viele Lipschitz-Teilgebiete zerlegt, wobei insbesondere Kreuzungspunkte und Teilgebiete ohne Außenrand zugelassen sind. Anschließend werden Transmissionsprobleme mit frei wählbaren $L^{\infty}$-Parameterfunktionen hergeleitet, wobei die Konormalenableitungen als Funktionale auf geeigneten Funktionenräumen über den Teilrändern ($H_{00}^{1/2}(\Gamma)$) interpretiert werden. Die iterative Lösung dieser Transmissionsprobleme mit einem Ansatz von Deng führt auf eine Substrukturierungsmethode mit Robin-artigen Transmissionsbedingungen, bei der eine Auswertung der Konormalenableitungen aufgrund einer geschickten Aufdatierung der Robin-Daten nicht notwendig ist (insbesondere ist die bekannte Robin-Robin-Methode von Lions als Spezialfall enthalten). Die Konvergenz bezüglich einer partitionierten $H^1$-Norm wird für beide Problemklassen gezeigt. Dabei werden keine über $H^1$ hinausgehende Regularitätsforderungen an die Lösungen gestellt und die Gebiete müssen keine zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen erfüllen. Im letzten Kapitel werden nichtmonotone koerzive quasilineare Probleme untersucht, wobei das Zugrunde liegende Gebiet nur in zwei Lipschitz-Teilgebiete zerlegt sein soll. Das zugehörige nichtlineare Transmissionsproblem wird durch Kirchhoff-Transformation in lineare Teilprobleme mit nichtlinearen Kopplungsbedingungen überführt. Ein optimierungsbasierter Lösungsansatz, welcher einen geeigneten Abstand der rücktransformierten Dirichlet-Daten der linearen Teilprobleme auf den Teilrändern minimiert, führt auf ein optimales Kontrollproblem. Die dabei entstehenden regularisierten freien Minimierungsprobleme werden mit Hilfe eines Gradientenverfahrens unter minimalen Glattheitsforderungen an die Nichtlinearitäten gelöst. Unter zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen an die Nichtlinearitäten und weiteren technischen Voraussetzungen an die Lösung des quasilinearen Ausgangsproblems, kann zudem die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens gesichert werden.

On the relationship between the Method of Least Squares and Gram-Schmidt orthogonalization

The method of Least Squares is due to Carl Friedrich Gauss. The Gram-Schmidt orthogonalization method is of much younger date. A method for solving Least Squares Problems is developed which automatically results in the appearance of the Gram-Schmidt orthogonalizers. Given these orthogonalizers an induction-proof is available for solving Least Squares Problems.