Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen

Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können. ________________________________________________________________________________________________________________

Controlling the transport of an ion: classical and quantum mechanical solutions

The accurate transport of an ion over macroscopic distances represents a challenging control problem due to the different length and time scales that enter and the experimental limitations on the controls that need to be accounted for. Here, we investigate the performance of different control techniques for ion transport in state-of-the-art segmented miniaturized ion traps. We employ numerical optimization of classical trajectories and quantum wavepacket propagation as well as analytical solutions derived from invariant based inverse engineering and geometric optimal control. The applicability of each of the control methods depends on the length and time scales of the transport. Our comprehensive set of tools allows us make a number of observations. We find that accurate shuttling can be performed with operation times below the trap oscillation period. The maximum speed is limited by the maximum acceleration that can be exerted on the ion. When using controls obtained from classical dynamics for wavepacket propagation, wavepacket squeezing is the only quantum effect that comes into play for a large range of trapping parameters. We show that this can be corrected by a compensating force derived from invariant based inverse engineering, without a significant increase in the operation time.

Hybrid optimization schemes for quantum control

Optimal control theory is a powerful tool for solving control problems in quantum mechanics, ranging from the control of chemical reactions to the implementation of gates in a quantum computer. Gradient-based optimization methods are able to find high fidelity controls, but require considerable numerical effort and often yield highly complex solutions. We propose here to employ a two-stage optimization scheme to significantly speed up convergence and achieve simpler controls. The control is initially parametrized using only a few free parameters, such that optimization in this pruned search space can be performed with a simplex method. The result, considered now simply as an arbitrary function on a time grid, is the starting point for further optimization with a gradient-based method that can quickly converge to high fidelities. We illustrate the success of this hybrid technique by optimizing a geometric phase gate for two superconducting transmon qubits coupled with a shared transmission line resonator, showing that a combination of Nelder-Mead simplex and Krotov’s method yields considerably better results than either one of the two methods alone.

Analysen der beiden cis-regulierenden Sequenzelemente translational control element (TCE) und cytoplasmic polyadenylation element (CPE) in der Drosophila-Spermatogenese

Ein essentieller Bestandteil in dem Mechanismus der Translationskontrolle sind RNA-Pro­tein-Wechselwirkungen. Solche Interaktionen konnten in Translationssystemen an zwei unabhängigen cis-regulierenden Elementen durch in vitro-Bindungsanalysen mit individu­ellen rekombinanten Proteinen dokumentiert werden. Im Fall des translational control elements (TCE), welches ein konserviertes Sequenz-Ele­ment in der Mst(3)CGP-Genfamilie darstellt, wird eine negative Translationskontrolle durch die Bindung der Proteine CG3213, CG12470, CG1898, dFMR1, Exuperantia und Orb2 an diese Sequenz vermittelt (Stinski, 2011). Neben den in Bindungsstudien positiv getesteten Kandidaten dFMR1 und Orb2 (Stinski, 2011) wurde in der vorliegenden Dis­sertation CG3213 als weiterer direkter Bindungspartner an das TCE dokumentiert. Ein Abgleich der genomweiten Zusammenstellung von Proteininteraktionen in der Datenbank InterologFinder lieferte zwei weitere potentielle Kandidaten: CG34404 und CG3727. Al­lerdings schließen Northern-Analysen und das Proteinexpressionsmuster eine zentrale Rolle in der Drosophila-Spermatogenese für diese nahezu aus. In Kolokalisationsstudien einiger TCE-Komplex-Kandidaten mit CG3213 als Referenz konnten eindeutige Überein­stimmungen der Fluoreszenzmuster mit CG12470 in der postmeiotischen Phase be­schrieben werden, wohingegen mit Orb2 (postmeiotisch) und CG1898 (prämeiotisch) nur eine geringe Kolokalisation erkannt wurde. Punktstrukturen in den Verteilungsmustern sowohl von CG3213 als auch von CG12470 ließen sich nicht mit ER- und mitochondrien­spezifischen Markern korrelieren. Im Anschluss der Meiose konnte eine deutliche Intensitätserhöhung des CG3213-Proteins beobachtet werden, was eventuell durch eine veränderte Translationseffizienz zustande kommen könnte. Exuperantia (Exu) stellt einen bekannten Regulator für eine Reihe von translationskontrollierten mRNAs dar (Wang und Hazelrigg, 1994). Die Quantifizierungen der CG3213-mRNA in exu-mutantem Hintergrund bestätigen, dass auch die Transkript­menge der CG3213-mRNA durch Exu reguliert wird, was die obige Interpretation stützen würde. Für das zweite cis-regulierende Element, das cytoplasmic polyadenylation element (CPE), konnte eine direkte Bindung mit dem CPEB-Homolog in Drosophila (Orb2) gezeigt wer­den, welches auch eine Komponente des mst87F-RNP-Komplexes ist. Ein vermuteter Interaktionspartner dieses CPEBs ist Tob, weshalb die Verteilung beider Proteine in einem Kombinationsstamm verglichen wurde. In dem teilweise übereinstimmenden Fluoreszenz­muster ist Tob an den distalen Spermatidenenden auffallend konzentriert. Das gesamte Tob-Muster jedoch legt eine Verteilung in den Mitochondrien nahe, wie die MitoTracker®-Färbung belegt. Somit wurde erstmals ein Mitglied der Tob/BTG-Genfamilie in der Droso­phila-Spermatogenese mit Mitochondrien in Verbindung gebracht. Die Lokalisierung die­ser Proteine ist bislang unklar, jedoch konnte eine Kernlokalisation trotz der N-terminalen NLS-Sequenz mit Hilfe einer Kernfärbung ausgeschlossen werden.