Quasi-Interpolation von Funktionen und Anwendungen auf Potentialprobleme

Ausgangspunkt der Dissertation ist ein von V. Maz'ya entwickeltes Verfahren, eine gegebene Funktion f : Rn ! R durch eine Linearkombination fh radialer glatter exponentiell fallender Basisfunktionen zu approximieren, die im Gegensatz zu den Splines lediglich eine näherungsweise Zerlegung der Eins bilden und somit ein für h ! 0 nicht konvergentes Verfahren definieren. Dieses Verfahren wurde unter dem Namen Approximate Approximations bekannt. Es zeigt sich jedoch, dass diese fehlende Konvergenz für die Praxis nicht relevant ist, da der Fehler zwischen f und der Approximation fh über gewisse Parameter unterhalb der Maschinengenauigkeit heutiger Rechner eingestellt werden kann. Darüber hinaus besitzt das Verfahren große Vorteile bei der numerischen Lösung von Cauchy-Problemen der Form Lu = f mit einem geeigneten linearen partiellen Differentialoperator L im Rn. Approximiert man die rechte Seite f durch fh, so lassen sich in vielen Fällen explizite Formeln für die entsprechenden approximativen Volumenpotentiale uh angeben, die nur noch eine eindimensionale Integration (z.B. die Errorfunktion) enthalten. Zur numerischen Lösung von Randwertproblemen ist das von Maz'ya entwickelte Verfahren bisher noch nicht genutzt worden, mit Ausnahme heuristischer bzw. experimenteller Betrachtungen zur sogenannten Randpunktmethode. Hier setzt die Dissertation ein. Auf der Grundlage radialer Basisfunktionen wird ein neues Approximationsverfahren entwickelt, welches die Vorzüge der von Maz'ya für Cauchy-Probleme entwickelten Methode auf die numerische Lösung von Randwertproblemen überträgt. Dabei werden stellvertretend das innere Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung und für die Stokes-Gleichungen im R2 behandelt, wobei für jeden der einzelnen Approximationsschritte Konvergenzuntersuchungen durchgeführt und Fehlerabschätzungen angegeben werden.

Salinity-induced changes in the microbial use of sugarcane filter cake added to soil

Five laboratory incubation experiments were carried out to assess the salinity-induced changes in the microbial use of sugarcane filter cake added to soil. The first laboratory experiment was carried out to prove the hypothesis that the lower content of fungal biomass in a saline soil reduces the decomposition of a complex organic substrate in comparison to a non-saline soil under acidic conditions. Three different rates (0.5, 1.0, and 2.0%) of sugarcane filter cake were added to both soils and incubated for 63 days at 30°C. In the saline control soil without amendment, cumulative CO2 production was 70% greater than in the corresponding non-saline control soil, but the formation of inorganic N did not differ between these two soils. However, nitrification was inhibited in the saline soil. The increase in cumulative CO2 production by adding filter cake was similar in both soils, corresponding to 29% of the filter cake C at all three addition rates. Also the increases in microbial biomass C and biomass N were linearly related to the amount of filter cake added, but this increase was slightly higher for both properties in the saline soil. In contrast to microbial biomass, the absolute increase in ergosterol content in the saline soil was on average only half that in the non-saline soil and it showed also strong temporal changes during the incubation: A strong initial increase after adding the filter cake was followed by a rapid decline. The addition of filter cake led to immobilisation of inorganic N in both soils. This immobilisation was not expected, because the total C-to-total N ratio of the filter cake was below 13 and the organic C-to-organic N ratio in the 0.5 M K2SO4 extract of this material was even lower at 9.2. The immobilisation was considerably higher in the saline soil than in the non-saline soil. The N immobilisation capacity of sugarcane filter cake should be considered when this material is applied to arable sites at high rations. The second incubation experiment was carried out to examine the N immobilizing effect of sugarcane filter cake (C/N ratio of 12.4) and to investigate whether mixing it with compost (C/N ratio of 10.5) has any synergistic effects on C and N mineralization after incorporation into the soil. Approximately 19% of the compost C added and 37% of the filter cake C were evolved as CO2, assuming that the amendments had no effects on the decomposition of soil organic C. However, only 28% of the added filter cake was lost according to the total C and d13C values. Filter cake and compost contained initially significant concentrations of inorganic N, which was nearly completely immobilized between day 7 and 14 of the incubation in most cases. After day 14, N re-mineralization occurred at an average rate of 0.73 µg N g-1 soil d-1 in most amendment treatments, paralleling the N mineralization rate of the non-amended control without significant difference. No significant net N mineralization from the amendment N occurred in any of the amendment treatments in comparison to the control. The addition of compost and filter cake resulted in a linear increase in microbial biomass C with increasing amounts of C added. This increase was not affected by differences in substrate quality, especially the three times larger content of K2SO4 extractable organic C in the sugarcane filter cake. In most amendment treatments, microbial biomass C and biomass N increased until the end of the incubation. No synergistic effects could be observed in the mixture treatments of compost and sugarcane filter cake. The third 42-day incubation experiment was conducted to answer the questions whether the decomposition of sugarcane filter cake also result in immobilization of nitrogen in a saline alkaline soil and whether the mixing of sugarcane filter cake with glucose (adjusted to a C/N ratio of 12.5 with (NH4)2SO4) change its decomposition. The relative percentage CO2 evolved increased from 35% of the added C in the pure 0.5% filter cake treatment to 41% in the 0.5% filter cake +0.25% glucose treatment to 48% in the 0.5% filter cake +0.5% glucose treatment. The three different amendment treatments led to immediate increases in microbial biomass C and biomass N within 6 h that persisted only in the pure filter cake treatment until the end of the incubation. The fungal cell-membrane component ergosterol showed initially an over-proportionate increase in relation to microbial biomass C that fully disappeared at the end of the incubation. The cellulase activity showed a 5-fold increase after filter cake addition, which was not further increased by the additional glucose amendment. The cellulase activity showed an exponential decline to values around 4% of the initial value in all treatments. The amount of inorganic N immobilized from day 0 to day 14 increased with increasing amount of C added in comparison to the control treatment. Since day 14, the immobilized N was re-mineralized at rates between 1.31 and 1.51 µg N g-1 soil d-1 in the amendment treatments and was thus more than doubled in comparison with the control treatment. This means that the re-mineralization rate is independent from the actual size of the microbial residues pool and also independent from the size of the soil microbial biomass. Other unknown soil properties seem to form a soil-specific gate for the release of inorganic N. The fourth incubation experiment was carried out with the objective of assessing the effects of salt additions containing different anions (Cl-, SO42-, HCO3-) on the microbial use of sugarcane filter cake and dhancha leaves amended to inoculated sterile quartz sand. In the subsequent fifth experiment, the objective was to assess the effects of inoculum and temperature on the decomposition of sugar cane filter cake. In the fourth experiment, sugarcane filter cake led to significantly lower respiration rates, lower contents of extractable C and N, and lower contents of microbial biomass C and N than dhancha leaves, but to a higher respiratory quotient RQ and to a higher content of the fungal biomarker ergosterol. The RQ was significantly increased after salt addition, when comparing the average of all salinity treatments with the control. Differences in anion composition had no clear effects on the RQ values. In experiment 2, the rise in temperature from 20 to 40°C increased the CO2 production rate by a factor of 1.6, the O2 consumption rate by a factor of 1.9 and the ergosterol content by 60%. In contrast, the contents of microbial biomass N decreased by 60% and the RQ by 13%. The effects of the inoculation with a saline soil were in most cases negative and did not indicate a better adaptation of these organisms to salinity. The general effects of anion composition on microbial biomass and activity indices were small and inconsistent. Only the fraction of 0.5 M K2SO4 extractable C and N in non-fumigated soil was consistently increased in the 1.2 M NaHCO3 treatment of both experiments. In contrast to the small salinity effects, the quality of the substrate has overwhelming effects on microbial biomass and activity indices, especially on the fungal part of the microbial community.

Systems of Parallel Communicating Restarting Automata

In der vorliegenden Dissertation werden Systeme von parallel arbeitenden und miteinander kommunizierenden Restart-Automaten (engl.: systems of parallel communicating restarting automata; abgekürzt PCRA-Systeme) vorgestellt und untersucht. Dabei werden zwei bekannte Konzepte aus den Bereichen Formale Sprachen und Automatentheorie miteinander vescrknüpft: das Modell der Restart-Automaten und die sogenannten PC-Systeme (systems of parallel communicating components). Ein PCRA-System besteht aus endlich vielen Restart-Automaten, welche einerseits parallel und unabhängig voneinander lokale Berechnungen durchführen und andererseits miteinander kommunizieren dürfen. Die Kommunikation erfolgt dabei durch ein festgelegtes Kommunikationsprotokoll, das mithilfe von speziellen Kommunikationszuständen realisiert wird. Ein wesentliches Merkmal hinsichtlich der Kommunikationsstruktur in Systemen von miteinander kooperierenden Komponenten ist, ob die Kommunikation zentralisiert oder nichtzentralisiert erfolgt. Während in einer nichtzentralisierten Kommunikationsstruktur jede Komponente mit jeder anderen Komponente kommunizieren darf, findet jegliche Kommunikation innerhalb einer zentralisierten Kommunikationsstruktur ausschließlich mit einer ausgewählten Master-Komponente statt. Eines der wichtigsten Resultate dieser Arbeit zeigt, dass zentralisierte Systeme und nichtzentralisierte Systeme die gleiche Berechnungsstärke besitzen (das ist im Allgemeinen bei PC-Systemen nicht so). Darüber hinaus bewirkt auch die Verwendung von Multicast- oder Broadcast-Kommunikationsansätzen neben Punkt-zu-Punkt-Kommunikationen keine Erhöhung der Berechnungsstärke. Desweiteren wird die Ausdrucksstärke von PCRA-Systemen untersucht und mit der von PC-Systemen von endlichen Automaten und mit der von Mehrkopfautomaten verglichen. PC-Systeme von endlichen Automaten besitzen bekanntermaßen die gleiche Ausdrucksstärke wie Einwegmehrkopfautomaten und bilden eine untere Schranke für die Ausdrucksstärke von PCRA-Systemen mit Einwegkomponenten. Tatsächlich sind PCRA-Systeme auch dann stärker als PC-Systeme von endlichen Automaten, wenn die Komponenten für sich genommen die gleiche Ausdrucksstärke besitzen, also die regulären Sprachen charakterisieren. Für PCRA-Systeme mit Zweiwegekomponenten werden als untere Schranke die Sprachklassen der Zweiwegemehrkopfautomaten im deterministischen und im nichtdeterministischen Fall gezeigt, welche wiederum den bekannten Komplexitätsklassen L (deterministisch logarithmischer Platz) und NL (nichtdeterministisch logarithmischer Platz) entsprechen. Als obere Schranke wird die Klasse der kontextsensitiven Sprachen gezeigt. Außerdem werden Erweiterungen von Restart-Automaten betrachtet (nonforgetting-Eigenschaft, shrinking-Eigenschaft), welche bei einzelnen Komponenten eine Erhöhung der Berechnungsstärke bewirken, in Systemen jedoch deren Stärke nicht erhöhen. Die von PCRA-Systemen charakterisierten Sprachklassen sind unter diversen Sprachoperationen abgeschlossen und einige Sprachklassen sind sogar abstrakte Sprachfamilien (sogenannte AFL's). Abschließend werden für PCRA-Systeme spezifische Probleme auf ihre Entscheidbarkeit hin untersucht. Es wird gezeigt, dass Leerheit, Universalität, Inklusion, Gleichheit und Endlichkeit bereits für Systeme mit zwei Restart-Automaten des schwächsten Typs nicht semientscheidbar sind. Für das Wortproblem wird gezeigt, dass es im deterministischen Fall in quadratischer Zeit und im nichtdeterministischen Fall in exponentieller Zeit entscheidbar ist.

Moments of classical orthogonal polynomials

The aim of this work is to find simple formulas for the moments mu_n for all families of classical orthogonal polynomials listed in the book by Koekoek, Lesky and Swarttouw. The generating functions or exponential generating functions for those moments are given.