Functions satisfying holonomic q-differential equations

In a similar manner as in some previous papers, where explicit algorithms for finding the differential equations satisfied by holonomic functions were given, in this paper we deal with the space of the q-holonomic functions which are the solutions of linear q-differential equations with polynomial coefficients. The sum, product and the composition with power functions of q-holonomic functions are also q-holonomic and the resulting q-differential equations can be computed algorithmically.

On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

An introduction to ordinary differential equations by computer algebra-systems

We report on an elementary course in ordinary differential equations (odes) for students in engineering sciences. The course is also intended to become a self-study package for odes and is is based on several interactive computer lessons using REDUCE and MATHEMATICA . The aim of the course is not to do Computer Algebra (CA) by example or to use it for doing classroom examples. The aim ist to teach and to learn mathematics by using CA-systems.

Root parametrized differential equations

The present thesis is about the inverse problem in differential Galois Theory. Given a differential field, the inverse  problem asks which linear algebraic groups can be realized as differential Galois groups of Picard-Vessiot extensions of this field.   In this thesis we will concentrate on the realization of the classical groups as differential Galois groups. We introduce a method for a very general realization of these groups. This means that we present for the classical groups of Lie rank $l$ explicit linear differential equations where the coefficients are differential polynomials in $l$ differential indeterminates over an algebraically closed field of constants $C$, i.e. our differential ground field is purely differential transcendental over the constants.   For the groups of type $A_l$, $B_l$, $C_l$, $D_l$ and $G_2$ we managed to do these realizations at the same time in terms of Abhyankar's program 'Nice Equations for Nice Groups'. Here the choice of the defining matrix is important. We found out that an educated choice of $l$ negative roots for the parametrization together with the positive simple roots leads to a nice differential equation and at the same time defines a sufficiently general element of the Lie algebra. Unfortunately for the groups of type $F_4$ and $E_6$ the linear differential equations for such elements are of enormous length. Therefore we keep in the case of $F_4$ and $E_6$ the defining matrix differential equation which has also an easy and nice shape.   The basic idea for the realization is the application of an upper and lower bound criterion for the differential Galois group to our parameter equations and to show that both bounds coincide. An upper and lower bound criterion can be found in literature. Here we will only use the upper bound, since for the application of the lower bound criterion an important condition has to be satisfied. If the differential ground field is $C_1$, e.g., $C(z)$ with standard derivation, this condition is automatically satisfied. Since our differential ground field is purely differential transcendental over $C$, we have no information whether this condition holds or not.   The main part of this thesis is the development of an alternative lower bound criterion and its application. We introduce the specialization bound. It states that the differential Galois group of a specialization of the parameter equation is contained in the differential Galois group of the parameter equation. Thus for its application we need a differential equation over $C(z)$ with given differential Galois group. A modification of a result from Mitschi and Singer yields such an equation over $C(z)$ up to differential conjugation, i.e. up to transformation to the required shape. The transformation of their equation to a specialization of our parameter equation is done for each of the above groups in the respective transformation lemma.

Orthogonal polynomials and recurrence equations, operator equations and factorization

This article surveys the classical orthogonal polynomial systems of the Hahn class, which are solutions of second-order differential, difference or q-difference equations. Orthogonal families satisfy three-term recurrence equations. Example applications of an algorithm to determine whether a three-term recurrence equation has solutions in the Hahn class - implemented in the computer algebra system Maple - are given. Modifications of these families, in particular associated orthogonal systems, satisfy fourth-order operator equations. A factorization of these equations leads to a solution basis.

Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results

In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.

Error estimates for approximate approximations on compact intervals

The aim of this paper is the investigation of the error which results from the method of approximate approximations applied to functions defined on compact in- tervals, only. This method, which is based on an approximate partition of unity, was introduced by V. Mazya in 1991 and has mainly been used for functions defied on the whole space up to now. For the treatment of differential equations and boundary integral equations, however, an efficient approximation procedure on compact intervals is needed. In the present paper we apply the method of approximate approximations to functions which are defined on compact intervals. In contrast to the whole space case here a truncation error has to be controlled in addition. For the resulting total error pointwise estimates and L1-estimates are given, where all the constants are determined explicitly.

Digitales stochastisches Magnetfeld-Sensorarray

Digitales stochastisches Magnetfeld-Sensorarray Stefan Rohrer Im Rahmen eines mehrjährigen Forschungsprojektes, gefördert von der Deutschen Forschungsgesellschaft (DFG), wurden am Institut für Mikroelektronik (IPM) der Universität Kassel digitale Magnetfeldsensoren mit einer Breite bis zu 1 µm entwickelt. Die vorliegende Dissertation stellt ein aus diesem Forschungsprojekt entstandenes Magnetfeld-Sensorarray vor, das speziell dazu entworfen wurde, um digitale Magnetfelder schnell und auf minimaler Fläche mit einer guten räumlichen und zeitlichen Auflösung zu detektieren. Der noch in einem 1,0µm-CMOS-Prozess gefertigte Test-Chip arbeitet bis zu einer Taktfrequenz von 27 MHz bei einem Sensorabstand von 6,75 µm. Damit ist er das derzeit kleinste und schnellste digitale Magnetfeld-Sensorarray in einem Standard-CMOS-Prozess. Konvertiert auf eine 0,09µm-Technologie können Frequenzen bis 1 GHz erreicht werden bei einem Sensorabstand von unter 1 µm. In der Dissertation werden die wichtigsten Ergebnisse des Projekts detailliert beschrieben. Basis des Sensors ist eine rückgekoppelte Inverter-Anordnung. Als magnetfeldsensitives Element dient ein auf dem Hall-Effekt basierender Doppel-Drain-MAGFET, der das Verhalten der Kippschaltung beeinflusst. Aus den digitalen Ausgangsdaten kann die Stärke und die Polarität des Magnetfelds bestimmt werden. Die Gesamtanordnung bildet einen stochastischen Magnetfeld-Sensor. In der Arbeit wird ein Modell für das Kippverhalten der rückgekoppelten Inverter präsentiert. Die Rauscheinflüsse des Sensors werden analysiert und in einem stochastischen Differentialgleichungssystem modelliert. Die Lösung der stochastischen Differentialgleichung zeigt die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ausgangssignals über die Zeit und welche Einflussfaktoren die Fehlerwahrscheinlichkeit des Sensors beeinflussen. Sie gibt Hinweise darauf, welche Parameter für das Design und Layout eines stochastischen Sensors zu einem optimalen Ergebnis führen. Die auf den theoretischen Berechnungen basierenden Schaltungen und Layout-Komponenten eines digitalen stochastischen Sensors werden in der Arbeit vorgestellt. Aufgrund der technologisch bedingten Prozesstoleranzen ist für jeden Detektor eine eigene kompensierende Kalibrierung erforderlich. Unterschiedliche Realisierungen dafür werden präsentiert und bewertet. Zur genaueren Modellierung wird ein SPICE-Modell aufgestellt und damit für das Kippverhalten des Sensors eine stochastische Differentialgleichung mit SPICE-bestimmten Koeffizienten hergeleitet. Gegenüber den Standard-Magnetfeldsensoren bietet die stochastische digitale Auswertung den Vorteil einer flexiblen Messung. Man kann wählen zwischen schnellen Messungen bei reduzierter Genauigkeit und einer hohen lokalen Auflösung oder einer hohen Genauigkeit bei der Auswertung langsam veränderlicher Magnetfelder im Bereich von unter 1 mT. Die Arbeit präsentiert die Messergebnisse des Testchips. Die gemessene Empfindlichkeit und die Fehlerwahrscheinlichkeit sowie die optimalen Arbeitspunkte und die Kennliniencharakteristik werden dargestellt. Die relative Empfindlichkeit der MAGFETs beträgt 0,0075/T. Die damit erzielbaren Fehlerwahrscheinlichkeiten werden in der Arbeit aufgelistet. Verglichen mit dem theoretischen Modell zeigt das gemessene Kippverhalten der stochastischen Sensoren eine gute Übereinstimmung. Verschiedene Messungen von analogen und digitalen Magnetfeldern bestätigen die Anwendbarkeit des Sensors für schnelle Magnetfeldmessungen bis 27 MHz auch bei kleinen Magnetfeldern unter 1 mT. Die Messungen der Sensorcharakteristik in Abhängigkeit von der Temperatur zeigen, dass die Empfindlichkeit bei sehr tiefen Temperaturen deutlich steigt aufgrund der Abnahme des Rauschens. Eine Zusammenfassung und ein ausführliches Literaturverzeichnis geben einen Überblick über den Stand der Technik.

Zur Konvergenz der Randpunktmethode

Das von Maz'ya eingeführte Approximationsverfahren, die Methode der näherungsweisen Näherungen (Approximate Approximations), kann auch zur numerischen Lösung von Randintegralgleichungen verwendet werden (Randpunktmethode). In diesem Fall hängen die Komponenten der Matrix des resultierenden Gleichungssystems zur Berechnung der Näherung für die Dichte nur von der Position der Randpunkte und der Richtung der äußeren Einheitsnormalen in diesen Punkten ab. Dieses numerisches Verfahren wird am Beispiel des Dirichlet Problems für die Laplace Gleichung und die Stokes Gleichungen in einem beschränkten zweidimensionalem Gebiet untersucht. Die Randpunktmethode umfasst drei Schritte: Im ersten Schritt wird die unbekannte Dichte durch eine Linearkombination von radialen, exponentiell abklingenden Basisfunktionen approximiert. Im zweiten Schritt wird die Integration über den Rand durch die Integration über die Tangenten in Randpunkten ersetzt. Für die auftretende Näherungspotentiale können sogar analytische Ausdrücke gewonnen werden. Im dritten Schritt wird das lineare Gleichungssystem gelöst, und eine Näherung für die unbekannte Dichte und damit auch für die Lösung der Randwertaufgabe konstruiert. Die Konvergenz dieses Verfahrens wird für glatte konvexe Gebiete nachgewiesen.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.

Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind

Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.