Orthogonal polynomials and recurrence equations, operator equations and factorization

This article surveys the classical orthogonal polynomial systems of the Hahn class, which are solutions of second-order differential, difference or q-difference equations. Orthogonal families satisfy three-term recurrence equations. Example applications of an algorithm to determine whether a three-term recurrence equation has solutions in the Hahn class - implemented in the computer algebra system Maple - are given. Modifications of these families, in particular associated orthogonal systems, satisfy fourth-order operator equations. A factorization of these equations leads to a solution basis.

Fourier-Matrizen und Ringe mit Basis

Bei der Bestimmung der irreduziblen Charaktere einer Gruppe vom Lie-Typ entwickelte Lusztig eine Theorie, in der eine sogenannte Fourier-Transformation auftaucht. Dies ist eine Matrix, die nur von der Weylgruppe der Gruppe vom Lie-Typ abhängt. Anhand der Eigenschaften, die eine solche Fourier- Matrix erfüllen muß, haben Geck und Malle ein Axiomensystem aufgestellt. Dieses ermöglichte es Broue, Malle und Michel füur die Spetses, über die noch vieles unbekannt ist, Fourier-Matrizen zu bestimmen. Das Ziel dieser Arbeit ist eine Untersuchung und neue Interpretation dieser Fourier-Matrizen, die hoffentlich weitere Informationen zu den Spetses liefert. Die Werkzeuge, die dabei entstehen, sind sehr vielseitig verwendbar, denn diese Matrizen entsprechen gewissen Z-Algebren, die im Wesentlichen die Eigenschaften von Tafelalgebren besitzen. Diese spielen in der Darstellungstheorie eine wichtige Rolle, weil z.B. Darstellungsringe Tafelalgebren sind. In der Theorie der Kac-Moody-Algebren gibt es die sogenannte Kac-Peterson-Matrix, die auch die Eigenschaften unserer Fourier-Matrizen besitzt. Ein wichtiges Resultat dieser Arbeit ist, daß die Fourier-Matrizen, die G. Malle zu den imprimitiven komplexen Spiegelungsgruppen definiert, die Eigenschaft besitzen, daß die Strukturkonstanten der zugehörigen Algebren ganze Zahlen sind. Dazu müssen äußere Produkte von Gruppenringen von zyklischen Gruppen untersucht werden. Außerdem gibt es einen Zusammenhang zu den Kac-Peterson-Matrizen: Wir beweisen, daß wir durch Bildung äußerer Produkte von den Matrizen vom Typ A(1)1 zu denen vom Typ C(1) l gelangen. Lusztig erkannte, daß manche seiner Fourier-Matrizen zum Darstellungsring des Quantendoppels einer endlichen Gruppe gehören. Deswegen ist es naheliegend zu versuchen, die noch ungeklärten Matrizen als solche zu identifizieren. Coste, Gannon und Ruelle untersuchen diesen Darstellungsring. Sie stellen eine Reihe von wichtigen Fragen. Eine dieser Fragen beantworten wir, nämlich inwieweit rekonstruiert werden kann, zu welcher endlichen Gruppe gegebene Matrizen gehören. Den Darstellungsring des getwisteten Quantendoppels berechnen wir für viele Beispiele am Computer. Dazu müssen unter anderem Elemente aus der dritten Kohomologie-Gruppe H3(G,C×) explizit berechnet werden, was bisher anscheinend in noch keinem Computeralgebra-System implementiert wurde. Leider ergibt sich hierbei kein Zusammenhang zu den von Spetses herrührenden Matrizen. Die Werkzeuge, die in der Arbeit entwickelt werden, ermöglichen eine strukturelle Zerlegung der Z-Ringe mit Basis in bekannte Anteile. So können wir für die meisten Matrizen der Spetses Konstruktionen angeben: Die zugehörigen Z-Algebren sind Faktorringe von Tensorprodukten von affinen Ringe Charakterringen und von Darstellungsringen von Quantendoppeln.

On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

Entanglement analysis of atomic processes and quantum registers

During recent years, quantum information processing and the study of N−qubit quantum systems have attracted a lot of interest, both in theory and experiment. Apart from the promise of performing efficient quantum information protocols, such as quantum key distribution, teleportation or quantum computation, however, these investigations also revealed a great deal of difficulties which still need to be resolved in practise. Quantum information protocols rely on the application of unitary and non–unitary quantum operations that act on a given set of quantum mechanical two-state systems (qubits) to form (entangled) states, in which the information is encoded. The overall system of qubits is often referred to as a quantum register. Today the entanglement in a quantum register is known as the key resource for many protocols of quantum computation and quantum information theory. However, despite the successful demonstration of several protocols, such as teleportation or quantum key distribution, there are still many open questions of how entanglement affects the efficiency of quantum algorithms or how it can be protected against noisy environments. To facilitate the simulation of such N−qubit quantum systems and the analysis of their entanglement properties, we have developed the Feynman program. The program package provides all necessary tools in order to define and to deal with quantum registers, quantum gates and quantum operations. Using an interactive and easily extendible design within the framework of the computer algebra system Maple, the Feynman program is a powerful toolbox not only for teaching the basic and more advanced concepts of quantum information but also for studying their physical realization in the future. To this end, the Feynman program implements a selection of algebraic separability criteria for bipartite and multipartite mixed states as well as the most frequently used entanglement measures from the literature. Additionally, the program supports the work with quantum operations and their associated (Jamiolkowski) dual states. Based on the implementation of several popular decoherence models, we provide tools especially for the quantitative analysis of quantum operations. As an application of the developed tools we further present two case studies in which the entanglement of two atomic processes is investigated. In particular, we have studied the change of the electron-ion spin entanglement in atomic photoionization and the photon-photon polarization entanglement in the two-photon decay of hydrogen. The results show that both processes are, in principle, suitable for the creation and control of entanglement. Apart from process-specific parameters like initial atom polarization, it is mainly the process geometry which offers a simple and effective instrument to adjust the final state entanglement. Finally, for the case of the two-photon decay of hydrogenlike systems, we study the difference between nonlocal quantum correlations, as given by the violation of the Bell inequality and the concurrence as a true entanglement measure.

Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen

Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren. Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer sogenannten Tatesequenz konstruieren kann. Unter den Voraussetzungen 1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe, 2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen 2a) $\chi$ ist abelsch, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren; wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist. Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85]) beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus, der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht. Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern. Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit. Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.

Untersuchungen zu kumulativen psychischen und physiologischen Effekten des fliegenden Personals auf der Kurzstrecke

Die fliegerische Tätigkeit auf der Kurzstrecke in der zivilen Luftfahrt unterliegt arbeitsspezifischen Belastungsfaktoren, die sich in wesentlichen Punkten von denen auf der Langstrecke unterscheiden. Eine hohe Arbeitsbelastung auf der Kurzstrecke ist mit vielen Starts und Landungen am Tag verbunden. Neben der Anzahl der Flugabschnitte können auch lange Flugdienstzeiten und/oder unregelmäßige Arbeitszeiten sowie der Zeitdruck während der Einsätze auf der Kurzstrecke zur Belastung für Cockpitbesatzungsmitglieder werden und zu Ermüdungserscheinungen führen. Bisher wurden flugmedizinische und -psychologische Daten hauptsächlich auf der Langstrecke in Bezug auf die Auswirkungen der Jet-Leg Symptomatik und kaum auf der Kurzstrecke erhoben. Deshalb wurde im Rahmen des DLR- Projekts „Untersuchungen zu kumulativen psychischen und physiologischen Effekten des fliegenden Personals auf der Kurzstrecke“ eine Langzeituntersuchung zur Belastung/Beanspruchung, Ermüdung sowie Erholung des Cockpitpersonals auf der Kurzstrecke über jeweils 56 Tage durchgeführt. In Zusammenarbeit mit der Deutschen Lufthansa AG dauerte die Untersuchung zu den Auswirkungen arbeitsspezifischer Belastungsfaktoren auf die Cockpitbesatzungsmitglieder der Boeing 737-Flotte von 2003 bis 2006. ZIEL: Unter Berücksichtigung theoretisch fundierter arbeitspsychologischer Konzepte war das Ziel der Studie, kumulative und akute Effekte auf das Schlaf-Wach-Verhalten, auf die Belastung/Beanspruchung sowie auf die Müdigkeit zu identifizieren, die durch aufeinander folgende Einsätze auf der Kurzstrecke innerhalb eines Zeitraums von acht Wochen auftreten können. Hierfür wurden Daten von 29 Piloten (N=13 Kapitäne; N=16 Erste Offiziere) aufgezeichnet. Das Durchschnittsalter lag bei 33,8 ± 7,9 Jahren (Kapitäne: 42,0 ± 3,8 Jahre; Erste Offiziere: 27,4 ± 2,2 Jahre). METHODEN: Über ein Handheld PC konnten effizient Fragebögen bearbeitet und das Sleep Log sowie das Flight Log geführt werden. Die subjektive Ermüdung und Arbeitsbeanspruchung wurden durch standardisierte Fragebögen (z.B. Ermüdungsskala von Samn & Perelli (1982), NASA-TLX) operationalisiert. Im Sleep Log und im Flight Log wurden das Schlaf-Wach-Verhalten sowie flugspezifische Daten dokumentiert (z.B. Dienstbeginn, Dienstende, Flugabschnitte, Zielorte, etc.). Der Schlaf-Wach-Zyklus wurde mittels der Aktimetrie während des gesamten Messverlaufs aufgezeichnet. Die objektive Leistungsfähigkeit wurde täglich morgens und abends mit Hilfe einer computergestützten Psychomotor Vigilance Task (PVT) nach Dinges & Powell (1985) erfasst. Die Leistung in der PVT diente als Indikator für die Ermüdung eines Piloten. Zusätzliche Befragungen mit Paper-Pencil-Fragebögen sollten Aufschluss über relevante, psychosoziale Randbedingungen geben, die bei den täglichen Erhebungen nicht berücksichtigt wurden (z.B. Arbeitszufriedenheit; Essgewohnheiten; Kollegenbeziehungen). ERGEBNISSE: Unter Beachtung kumulativer Effekte wurde über die Studiendauer keine Veränderung in der Schlafqualität und im Schlafbedürfnis festgestellt. Die Müdigkeit nahm dagegen während der achtwöchigen Untersuchung zu. Die Reaktionszeit in der PVT zeigte an Flugdiensttagen eine Verschlechterung über die Zeit. Insgesamt wurden keine kritischen längerfristigen Effekte analysiert. Akute signifikante Effekte wurden bei der Ermüdung, der Gesamtbelastung und der Leistungsfähigkeit an Flugdiensttagen gefunden. Die Ermüdung als auch die Gesamtbelastung stiegen bei zunehmender Flugdienstdauer und Leganzahl und die Leistung nahm in der PVT ab. Der „time on task“ Effekt zeigte sich besonders in der Ermüdung durch die fliegerische Tätigkeit ab einer Flugdienstzeit von > 10 Stunden und > 4 Legs pro Tag. SCHLUSSFOLGERUNG: Mit diesen Ergebnissen konnte eine wissenschaftliche Datenbasis geschaffen werden aus der Empfehlungen resultieren, wie die Einsatzplanung für das Cockpitpersonal auf der Kurzstrecke unter flugmedizinischen und flugpsychologischen Gesichtspunkten optimiert werden kann. Zudem kann ein sachgerechter Beitrag im Rahmen der Diskussion zur Flugdienst- und Ruhezeitenregelung auf europäischer Ebene geleistet werden.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.