On Solutions of Holonomic Divided-Difference Equations on Non-Uniform Lattices

The main aim of this paper is the development of suitable bases (replacing the power basis x^n (n\in\IN_\le 0) which enable the direct series representation of orthogonal polynomial systems on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable). We present two bases of this type, the first of which allows to write solutions of arbitrary divided-difference equations in terms of series representations extending results given in [16] for the q-case. Furthermore it enables the representation of the Stieltjes function which can be used to prove the equivalence between the Pearson equation for a given linear functional and the Riccati equation for the formal Stieltjes function. If the Askey-Wilson polynomials are written in terms of this basis, however, the coefficients turn out to be not q-hypergeometric. Therefore, we present a second basis, which shares several relevant properties with the first one. This basis enables to generate the defining representation of the Askey-Wilson polynomials directly from their divided-difference equation. For this purpose the divided-difference equation must be rewritten in terms of suitable divided-difference operators developed in [5], see also [6].

Characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices: The functional approach

Using the functional approach, we state and prove a characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable) including the Askey-Wilson polynomials. This theorem proves the equivalence between seven characterization properties, namely the Pearson equation for the linear functional, the second-order divided-difference equation, the orthogonality of the derivatives, the Rodrigues formula, two types of structure relations,and the Riccati equation for the formal Stieltjes function.

Fabrication and Characterization of Efficient Optical Filter Arrays Implemented by 3D Nanoimprint

In dieser Arbeit werden optische Filterarrays für hochqualitative spektroskopische Anwendungen im sichtbaren (VIS) Wellenlängenbereich untersucht. Die optischen Filter, bestehend aus Fabry-Pérot (FP)-Filtern für hochauflösende miniaturisierte optische Nanospektrometer, basieren auf zwei hochreflektierenden dielektrischen Spiegeln und einer zwischenliegenden Resonanzkavität aus Polymer. Jeder Filter erlaubt einem schmalbandigem spektralen Band (in dieser Arbeit Filterlinie genannt) ,abhängig von der Höhe der Resonanzkavität, zu passieren. Die Effizienz eines solchen optischen Filters hängt von der präzisen Herstellung der hochselektiven multispektralen Filterfelder von FP-Filtern mittels kostengünstigen und hochdurchsatz Methoden ab. Die Herstellung der multiplen Spektralfilter über den gesamten sichtbaren Bereich wird durch einen einzelnen Prägeschritt durch die 3D Nanoimprint-Technologie mit sehr hoher vertikaler Auflösung auf einem Substrat erreicht. Der Schlüssel für diese Prozessintegration ist die Herstellung von 3D Nanoimprint-Stempeln mit den gewünschten Feldern von Filterkavitäten. Die spektrale Sensitivität von diesen effizienten optischen Filtern hängt von der Genauigkeit der vertikalen variierenden Kavitäten ab, die durch eine großflächige ‚weiche„ Nanoimprint-Technologie, UV oberflächenkonforme Imprint Lithographie (UV-SCIL), ab. Die Hauptprobleme von UV-basierten SCIL-Prozessen, wie eine nichtuniforme Restschichtdicke und Schrumpfung des Polymers ergeben Grenzen in der potenziellen Anwendung dieser Technologie. Es ist sehr wichtig, dass die Restschichtdicke gering und uniform ist, damit die kritischen Dimensionen des funktionellen 3D Musters während des Plasmaätzens zur Entfernung der Restschichtdicke kontrolliert werden kann. Im Fall des Nanospektrometers variieren die Kavitäten zwischen den benachbarten FP-Filtern vertikal sodass sich das Volumen von jedem einzelnen Filter verändert , was zu einer Höhenänderung der Restschichtdicke unter jedem Filter führt. Das volumetrische Schrumpfen, das durch den Polymerisationsprozess hervorgerufen wird, beeinträchtigt die Größe und Dimension der gestempelten Polymerkavitäten. Das Verhalten des großflächigen UV-SCIL Prozesses wird durch die Verwendung von einem Design mit ausgeglichenen Volumen verbessert und die Prozessbedingungen werden optimiert. Das Stempeldesign mit ausgeglichen Volumen verteilt 64 vertikal variierenden Filterkavitäten in Einheiten von 4 Kavitäten, die ein gemeinsames Durchschnittsvolumen haben. Durch die Benutzung der ausgeglichenen Volumen werden einheitliche Restschichtdicken (110 nm) über alle Filterhöhen erhalten. Die quantitative Analyse der Polymerschrumpfung wird in iii lateraler und vertikaler Richtung der FP-Filter untersucht. Das Schrumpfen in vertikaler Richtung hat den größten Einfluss auf die spektrale Antwort der Filter und wird durch die Änderung der Belichtungszeit von 12% auf 4% reduziert. FP Filter die mittels des Volumengemittelten Stempels und des optimierten Imprintprozesses hergestellt wurden, zeigen eine hohe Qualität der spektralen Antwort mit linearer Abhängigkeit zwischen den Kavitätshöhen und der spektralen Position der zugehörigen Filterlinien.