A generalization of Student’s t-distribution from the viewpoint of special functions

Student’s t-distribution has found various applications in mathematical statistics. One of the main properties of the t-distribution is to converge to the normal distribution as the number of samples tends to infinity. In this paper, by using a Cauchy integral we introduce a generalization of the t-distribution function with four free parameters and show that it converges to the normal distribution again. We provide a comprehensive treatment of mathematical properties of this new distribution. Moreover, since the Fisher F-distribution has a close relationship with the t-distribution, we also introduce a generalization of the F-distribution and prove that it converges to the chi-square distribution as the number of samples tends to infinity. Finally some particular sub-cases of these distributions are considered.

Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

"Schwarzer Untertan versus schwarzer Bruder". Bernhard Dernburgs Reformen in den Kolonien Deutsch-Ostafrika, Deutsch-Südwestafrika, Togo und Kamerun

Nachdem sich in der Kolonialkrise von 1906 das Scheitern der ersten Periode deutscher Kolonialherrschaft (1885-1906) offenbarte, wurde Bernhard Dernburg die grundlegende Reorganisation der Kolonialpolitik anvertraut. Als Mann aus der Welt der Banken und Finanzen sollte er die stagnierende Entwicklung der Kolonien mit Hilfe von administrativen und wirtschaftlichen Reformmaßnahmen vorantreiben und gleichzeitig der indigenen Bevölkerung eine humane Behandlung zu garantieren. Um diese Ziele zu erreichen, verabschiedete er Reformen, die eine Rationalisierung und Humanisierung der Arbeiterpolitik vorsahen. Sowohl in der zeitgenössischen Literatur als auch in der aktuellen wissenschaftlichen Forschung wird der Amtsantritt Bernhard Dernburgs zum Leiter der Kolonialabteilung im Jahre 1906 als der „Beginn einer neuen humanen Ära“ deutscher Kolonialpolitik oder als „Wandel zum Besseren“ bezeichnet. Die Dissertation „Schwarzer Untertan versus Schwarzer Bruder. Bernhard Dernburgs Reformen in den Kolonien Deutsch-Ostafrika, Deutsch-Südwestafrika, Togo und Kamerun“ untersucht die Intention, Akzeptanz, Umsetzung und Auswirkung der reformatorischen Eingeborenenpolitik und klärt, ob die Beurteilung der Ära Dernburg (1906-1910) in der zeitgenössischen und aktuellen Forschung eine Berechtigung hat. Obwohl zumindest in der Theorie sein Konzept einer rationalen und humanen Kolonialpolitik sicherlich eine Abkehr von der bisher betriebenen Kolonialpolitik bedeutete, zeigt sich jedoch bei der Umsetzung der Reformen eine deutliche Diskrepanz zwischen Intention und Realität. Auch wenn zumindest die Bestrebung Dernburgs zur Verrechtlichung der indigenen Arbeitsverhältnisse gewürdigt werden sollte, so muss doch konstatiert werden, dass es in der „Ära Dernburg“ definitiv nicht zu einer grundlegenden Verbesserung der indigenen Lebenssituation in den deutschen Kolonien kam. Im Gegenteil, die Dernburgsche Reformpolitik beschleunigte vielmehr den Verelendungsprozess der indigenen Bevölkerung. In allen afrikanischen Kolonien verschlechterten sich mit der Intensivierung der Verwaltung die sozialen und menschlichen Beziehungen zwischen Afrikanern und Europäern. Vieles von dem, was Dernburg in seinem Programm propagierte, konnte nicht erreicht werden. Zwar führte Dernburg in Deutsch-Ostafrika, Deutsch-Südwestafrika und in Kamerun eine rechtlich bindende Arbeiterverordnung ein, jedoch unterschieden sich die Bestimmungen zum Teil erheblich voneinander, so dass von einer einheitlichen Modernisierung des kolonialen Arbeitsrechts nicht die Rede sein kann. Viele arbeitsrechtliche Bereiche, wie z.B. die Arbeiteranwerbung, Lohnzahlung, Minderjährigenschutz, Vertragsdauer, Arbeitszeit, Verpflegung und Unterkunft wurden nur unzureichend geregelt. Ähnlich negativ muss auch die Reformierung der Strafrechtspflege bewertet werden. Die Kodifizierung eines Eingeborenenstrafrechts scheiterte sowohl am Widerstand der lokalen Verwaltung als auch am Grundkonsens der Rechtmäßigkeit einer Rassenjustiz. Kolonialpolitik war auch in der „Ära Dernburg“ nichts anderes als „rohe Ausbeutungspolitik“, die zur Lösung der Arbeiterfrage beitragen sollte. Aber gerade hier, bei der Mobilisierung von afrikanischen Lohnarbeitern, war der Kolonialstaatssekretär nicht etwa mit einer „Arbeiterfürsorgepolitik“, sondern mit der Fortführung der Enteignungs- und Zwangsmaßnahmen erfolgreich gewesen. Insgesamt ist ein deutlicher Anstieg an afrikanischen Arbeitern in europäischen Unternehmen zu verzeichnen, was darauf schließen lässt, dass Dernburgs Verordnungen einen günstigen Einfluss auf die Arbeiterfrage ausgeübt haben. Obwohl nicht von einem grundlegenden Neuanfang der Kolonialpolitik gesprochen werden kann, sollte ebenso wenig bezweifelt werden, dass sich die deutsche Kolonialpolitik nicht unter Dernburg veränderte. Größere indigene Aufstände und Unruhen blieben aus, so dass während seiner Amtszeit eine systematische wirtschaftliche Erschließung der Kolonien beginnen konnte.