A generalization of Student’s t-distribution from the viewpoint of special functions

Student’s t-distribution has found various applications in mathematical statistics. One of the main properties of the t-distribution is to converge to the normal distribution as the number of samples tends to infinity. In this paper, by using a Cauchy integral we introduce a generalization of the t-distribution function with four free parameters and show that it converges to the normal distribution again. We provide a comprehensive treatment of mathematical properties of this new distribution. Moreover, since the Fisher F-distribution has a close relationship with the t-distribution, we also introduce a generalization of the F-distribution and prove that it converges to the chi-square distribution as the number of samples tends to infinity. Finally some particular sub-cases of these distributions are considered.

Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Segregation unter Stagnationsbedingungen

Anlass der Untersuchung sind Verstärkungen von strukturwandel- und globalisierungsbedingten Wandlungen unter Schrumpfungs- und Stagnationsbedingungen. Denn Stagnations- und Schrumpfungstendenzen in einer Region sind selektiv, sie begünstigen über verschiedene Mechanismen Polarisierungen und Marginalisierungen: Die allgemeine Entspannung am Wohnungsmarkt hat erhöhte Mobilität und damit sozialräumliche Segregierungen und Polarisierungen der Wohnungsversorgung zur Folge. Leerstände und ausbleibende Investitionen begünstigen Polarisierungen von baulich-räumlichen Qualitäten. Diese beiden Entwicklungen überlagern sich im Stadtraum und verstärken sich gegenseitig. Dabei verbessert sich die Wohnungsversorgung in den benachteiligten Quartieren kaum, so die Ausgangshypothesen. Die Untersuchung fragt nach den Wirkungen des Nebeneinanders von Wachstums-, Stagnations- und Schrumpfungserscheinungen auf unterschiedlichen Maßstabsebenen, dem Zusammenspiel von sozialstrukturellen und qualitativen Veränderungen der baulich-räumlichen Gegebenheiten in den Quartieren sowie in innerstädtischer Differenzierung. Dabei interessieren besonders die Einflüsse eines regional entspannten Wohnungsmarktes und dessen Folgen für die Verwertungsstrategien im Wohnungsbestand auf Segregationsprozesse und die Wohnungsversorgung. Als Fallbeispiel der Untersuchung dient die Stadt Kassel. Der sozialräumliche Fokus liegt auf drei Typen benachteiligter Quartiere: Neben den in der aktuellen Diskussion zumeist betrachteten gründerzeitlichen Arbeiterquartieren und den Großsiedlungen der 1960/70er Jahre wurden auch die peripheren Geschosswohnungsbausiedlungen der 1950er/60er Jahre in die Untersuchung einbezogen, um den unterschiedlichen Rahmenbedingungen und Wirkungen in den Quartierstypen auf die Spur zu kommen und damit letztlich Grundlagen für stadtentwicklungspolitische Strategien zu erarbeiten. Die kleinräumigen Analysen von sozialräumlicher und baulich-räumlicher Struktur sowie zur Wohnungsversorgung deckten Parallelen und gegenläufige Entwicklungen zwischen den unterschiedlichen Quartierstypen auf; es ergaben sich verschiedene Anhaltspunkte zur Erhärtung der Ausgangsthesen. So wurde z.B. deutlich, dass sich unter den Marktbedingungen stagnierender Städte die Wohnflächenversorgung in den benachteiligten Quartieren kaum verbessert. Hierin zeigt sich ein entscheidender Unterschied zu stark schrumpfenden Städten, in denen sich die Versorgungslage (fast) durchgängig verbessert. Wohnungsmarktbarrieren wirken offensichtlich unter Stagnationsbedingungen für bestimmte Bevölkerungsgruppen weiter. Da sich ihre Wirkung aber für weitere Kreise der Bevölkerung abschwächt, verschärfen sich sozialräumliche Konzentrationen. Vor allem aber wurden Überlagerung und gegenseitige Verstärkung dieser sozialräumlichen mit baulich-räumlichen Polarisierungen deutlich, die vor allem aus stadträumlich konzentrierten Investitionen in den Gebäude- und Wohnungsbestand resultieren. Letztlich zeigt sich damit, dass regulierende Eingriffe nicht nur im Rahmen des Umbaus und der Erneuerung der Quartiere erforderlich sind, sondern insbesondere auch in den Wohnungsmarkt und dies auch bei entspannter regionaler Marktlage. Andernfalls ist weder eine angemessene Wohnungsversorgung aller Bevölkerungsgruppen noch der Zusammenhalt der Stadt(Gesellschaft) zu gewährleisten. Dabei ist die Stadtpolitik permanent mit der Gleichzeitigkeit von (wirtschaftlicher) Standortpolitik und sozialer Stadtentwicklung konfrontiert, die sie im Sinne einer nachhaltigen Entwicklung gegeneinander und miteinander abwägen muss.

Landschaftsperspektiven der Nutzer

Die vorliegende Arbeit macht Vorschläge zur Einbindung der Öffentlichkeit in Planungsbestrebungen vor Ort, wobei vor allem Methoden empirischer Sozialforschung und deren Anwendbarkeit in landschaftsplanerischen Vorhaben näher betrachtet werden. Hiermit finden insbesondere Wertezuweisungen durch die Bürger stärkere Berücksichtigung. Es wird angenommen, dass, um eine zukunftsweisende Landschaftsplanung zu etablieren, Planer und Fachleute lernen müssen, wie die lokale Bevölkerung ihre Umwelt wahrnimmt und empfindet und welche Ideen sie für die zukünftige Entwicklung der Landschaft haben. Als empirische Grundlage werden Fallstudien aus Bad Soden am Taunus, Hamburg-Wilhelmsburg und Kassel-Rothenditmold präsentiert und verglichen. Rothenditmold und Wilhelmsburg zeichnen sich durch hohe Einwohneranteile mit Migrationshintergrund aus, weisen relativ hohe Arbeitslosenquoten auf und sind als soziale Brennpunkte bekannt – zumindest für Außenstehende. Beide Stadtteile versuchen ihr Image aufzuwerten. In Wilhelmsburg wird dieses Vorhaben in die großräumigen Veränderungen eingebunden, die von verschiedenen Hamburger Großprojekten ausstrahlen. In Rothenditmold ist vor allem Eigeninitiative durch den Stadtteil selbst gefragt. In Bad Soden gibt es ebenfalls viele Menschen mit ausländischen Wurzeln. Sie gehören allerdings mehrheitlich der gesellschaftlichen Mittel- und Oberschicht an. Bad Soden verfügt über ein insgesamt positives Image, das aller kulturellen Veränderungen zum Trotz beibehalten werden soll. Entsprechende Initiativen gehen hier ebenfalls von der Gemeinde selbst aus. An allen Standorten hat es drastische Landschaftsveränderungen und speziell deren Erscheinung gegeben. Bad Soden und Wilhelmsburg haben dabei Teile ihres vormals ländlichen Charakters zu bewahren, während in Rothenditmold vor allem Zeugnisse aus der Zeit der Industrialisierung erhalten sind und den Ort prägen. Die Landschaften haben jeweils ihre einzigartigen Erscheinungen. Zumindest Teile der Landschaften ermöglichen eine Identifikation, sind attraktiv und liefern gute Erholungsmöglichkeiten. Um diese Qualitäten zu bewahren, müssen sie entsprechend gepflegt und weiter entwickelt werden. Dazu sind die Interessen und Wünsche der Bewohner zu ermitteln und in Planungen einzuarbeiten. Die Arbeit strebt einen Beitrag zur Lebensraumentwicklung für und mit Menschen an, die mittels ausgewählter Methoden der empirischen Sozialforschung eingebunden werden. Dabei wird gezeigt, dass die vorgestellten und erprobten Methoden sinnvoll in Projekte der Landschaftsplanung eingebunden werden können. Mit ihnen können ergänzende Erkenntnisse zum jeweiligen Landschaftsraum gewonnen werden, da sie helfen, die kollektive Wahrnehmung der Landschaft durch die Bevölkerung zu erfassen, um sie anschließend in Planungsentwürfe einbinden zu können. Mit der Untersuchung wird in den drei vorgestellten Fallstudien exemplarisch erfasst, welche Elemente der Landschaft für die Bewohner von besonderer Bedeutung sind. Darüber hinaus lernen Planer, welche Methoden zur Ermittlung emotionaler Landschaftswerte verfügbar sind und auf welcher Ebene der Landschaftsplanung sowie bei welchen Zielgruppen sie eingesetzt werden können. Durch die Verknüpfung landschaftsplanerischer Erfassungsmethoden mit Methoden der empirischen Sozialwissenschaft (Fragebogen, Interviews, „Spaziergangsinterviews“, gemeinsame Erarbeitung von Projekten bis zur Umsetzung) sowie der Möglichkeit zur Rückkoppelung landschaftsplaneri-scher Entwürfe mit der Bevölkerung wird eine Optimierung dieser Entwürfe sowohl im Sinne der Planer als auch im Sinne der Bürger erreicht. Zusätzlich wird die Wahrnehmung teilnehmender Bevölkerung für ihre Umwelt geschärft, da sie aufgefordert wird, sich mit ihrer Lebensumgebung bewusst auseinander zu setzen. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind Beitrag und Beleg zu der Annahme, dass ergänzende Methoden in der Landschaftsplanung zur stärkeren Interessenberücksichtigung der von Planung betroffenen Menschen benötigt werden. Zudem zeigen die Studien auf, wie man dem planungsethischen Anspruch, die Öffentlichkeit einzubeziehen, näher kommt. Resultat sind eine bessere Bewertung und Akzeptanz der Planungen und das nicht nur aus landschaftsplanerisch-fachlicher Sicht. Landschaftsplaner sollten ein Interesse daran haben, dass ihre Entwürfe ernst genommen und akzeptiert werden. Das schaffen sie, wenn sie der Bevölkerung nicht etwas aufplanen, sondern ihnen entsprechende Einflussmöglichkeiten bieten und Landschaft mit ihnen gemeinsam entwickeln.